Korelacja nauczania matematyki i fizyki

w zakresie pochodnej funkcji.

Przeglądając oficjalne programy nauczania i podręczniki do matematyki i fizyki w szkole średniej, widać, że w zakresie pochodnej, korelacja żadna nie występuje. Jest tak dlatego, ponieważ nauczyciele matematyki, zanim będą mogli wprowadzić granice i pochodne, muszą najpierw zapoznać uczniów z wieloma bardziej podstawowymi pojęciami, takimi jak: zbiór liczb rzeczywistych, funkcja liniowa, funkcje trygonometryczne, własności figur, wektory, funkcje kwadratowe.
Nauczyciele fizyki używają zaś pojęć granica i pochodna duż
o wcześniej, bez formalnego ich wprowadzenia. W podręczniku fizyki do kl. I liceum ogólnokształcącego, na str. 24, widzimy rysunek samochodu poruszającego się po krzywoliniowym odcinku drogi z zaznaczonymi wektorami prędkości. Tekst objaśniający tę sytuację brzmi następująco:

“Wektor prędkości chwilowej definiujemy następująco:W ruchu krzywoliniowym prędkość chwilowa ma kierunek stycznej do toru a zwrot taki jak przemieszczenie.
Praktycznie wiele przypadków ruchu krzywoliniowego traktujemy w sposób uproszczony, sprowadzając je do ruchu prostoliniowego.”

Na dalszych stronach podręcznika wielokrotnie pojawiają się wykresy funkcji z zaznaczonymi stycznymi i obliczenia ich współczynnika kierunkowego przy pomocy funkcji tangens. Pojawiają się również rysunki przedstawiające wykresy funkcji z zaznaczonym polem pod wykresem wraz z interpretacją fizyczną tego pola. Wszystko to w podręczniku do kl.I LO.

Matematycy powinni być, i chyba są, wdzięczni nauczycielom fizyki, że już w klasie pierwszej ich uczniowie zapoznani są z granicami, z rachunkiem różniczkowym i całkowym oraz z wektorami i funkcjami trygonometrycznymi. Zresztą nie po raz pierwszy fizycy wyprzedzają matematyków. Już Newton, gdy potrzebował narzędzi matematycznych do badań fizycznych, wprowadził swoje fluenty i fluksje, czyli funkcje i pochodne.

Jednak nauczyciele fizyki chcą czegoś od matematyków. W tym samym podręczniku, na str.45, przedstawiono wykres położenia ciała w zależności od czasu z zaznaczonym punktem na wykresie i styczną w tym punkcie. Tekst opisujący ten rysunek brzmi następująco:

“Jakie wielkości fizyczne możemy z niego odczytać? Bezpośrednio odczytujemy położenie. Natomiast pośrednio przebieg wykresu dostarcza danych umożliwiających obliczanie prędkości. Prędkość jest równa tangensowi kąta zawartego między styczną do krzywej a osią czasu*.”
*)“Zależność ta wynika z własności funkcji. Poznacie ją lepiej na lekcjach matematyki.”

No właśnie. Trzeba coś zrobić, aby pochodna, która jest konieczna do nauczania fizyki już w kl. I, była zrozumiała na wczesnym etapie nauczania w szkole średniej. Wydaje się, że ze względów metodycznych, chcąc zachować zasady nauczania, w szczególności zasadę przystępności nauczania, nauczyciele matematyki, ewentualnie nauczyciele fizyki, jeśli nie potrafią dogadać się z matematykami, powinni na początku kl. I, omówić przykłady i podać wykresy funkcji liniowych, kwadratowych i trygonometrycznych, a następnie zapoznać uczniów z tą tajemniczą własnością, pozwalającą z wykresu drogi obliczać prędkość.

Jak to można zrobić? Przedstawiamy propozycję wprowadzenia pojęcia pochodnej przy pomocy komputera.

Weźmy na początek funkcję y=x2-4x-2. Rys.1 potraktujmy jako wykres zależności drogi y od czasu x. Spróbujmy z tego wykresu odczytać prędkość ciała w punkcie xo=3. Do sporządzania wykresów można wykorzystać program wyk-sk-r.exe.

Rys.1.Wykres funkcji y=x2-4x-2 w skali 1.

Z rys.1 widać, że wartość funkcji w punkcie 3 wynosi -5 zaś w otoczeniu tego punktu funkcja jest rosnąca, jednak kierunek wzrastania i jego liczbowa wartość są trudne do określenia ponieważ kształt wykresu i przyrosty funkcji z obu stron punktu są różne. Proponujemy więc wykonać, przy pomocy dowolnego programu komputerowego, pozwalającego powiększać wykresy i zmieniać siatkę układu współrzędnych, serię wykresów funkcji y=x2-4x-2 w otoczeniu punktu 3, przyjmując coraz większe skale powiększenia - rys.2.

Rys.2.Wykresy funkcji y=x2-4x-2 w otoczeniu punktu 3 w skalach 1, 5, 10, 100.

Z ostatniego wykresu, na rys.2, wyraźnie widać, że przebieg funkcji, w otoczeniu punktu 3, jest prostoliniowy i kierunek tej prostej wynosi 2. Liczbę tę otrzymujemy, licząc ile oczek siatki przypada na każde oczko przyrostu argumentu.

I to już wszystko! Liczba 2 jest poszukiwaną prędkością. Jest to pochodna funkcji y=x2-4x-2 w punkcie xo=3.

Ogólnie więc, aby wyznaczyć pochodną funkcji y=f(x) w punkcie xo, należy powiększać wykres funkcji w otoczeniu tego punktu, aż do momentu, gdy stanie się on prostą i wtedy wartość współczynnika kierunkowego tej prostej będzie pochodną funkcji w tym punkcie.

Pokażemy to jeszcze na przykładzie funkcji y=sin(x) w punkcie 1. Oto odpowiednia seria wykresów:

Rys.3. Wykresy funkcji y=sin(x) w otoczeniu punktu 1 w skalach 1, 5, 50, 1000

Z ostatniego wykresu możemy odczytać pochodną jako wartość współczynnika kierunkowego prostej. Oczka siatki prostokątnej są tak dobrane, aby prosta przechodziła przez węzły siatki. Mają one wymiary 150 na 81 pikseli i stąd współczynnik kierunkowy jest równy = 0.5400. Zatem 0.54 jest pochodną funkcji y=sin(x) w punkcie 1. Oczywiście jest to wartość przybliżona, ponieważ posługujemy się niezbyt precyzyjną miarą jaką są piksele na ekranie komputera.

Zobaczmy teraz, jak przy tym sposobie wyznaczania pochodnej, można odpowiedzieć na niektóre pytania, które zwykle się zadaje przy wprowadzaniu pochodnej.

Czy pochodna (prędkość) w jakimś punkcie może być równa 0? Ponieważ pochodna to współczynnik kierunkowy prostej wzdłuż której, w dużym powiększeniu, przebiega wykres funkcji, więc na pewno zdarzy się dla jakiejś funkcji, w jakimś punkcie, tak, że prosta ta będzie miała współczynnik kierunkowy równy 0, czyli będzie równoległa do osi OX. Np. nasza poprzednia funkcja, y=x2-4x-2 w punkcie xo=2 ma wykres równoległy do osi OX - rys.4, a więc jej pochodna w tym punkcie wynosi 0.

Rys.4. Wykresy funkcji y=x2-4x-2 w skali 1000 w otoczeniu punktu x=2 i x=1.

Również odpowiedź na pytanie: Czy pochodna (prędkość) może być ujemna?, ma odpowiedź twierdzącą. Wystarczy wziąć tą samą funkcję y=x2-4x-2, i wyznaczyć pochodną w punkcie xo=1. Otrzymamy wartość ujemną równą -2 -rys.4.

Inne ważne pytanie brzmi: Czy zawsze istnieje pochodna (prędkość) w punkcie?

Dla wszystkich “normalnych” funkcji zawsze tak jest. Powiększanie wykresu zawsze w końcu daje linię prostą. Weźmy więc trochę “nienormalną” funkcję, np. i wykonajmy powiększenia wykresu tej funkcji w otoczeniu punktu 0. Okazuje się, że nawet przy dużych skalach wykres ma “ostrze” i nie staje się prosty - rys.5.

Rys.5. Wykresy funkcji w otoczeniu punktu 0 w skali 1 i w skali 1000.

Należy więc powiedzieć, że funkcja nie ma określonej pochodnej (prędkości) w punkcie 0. Takich funkcji, mających “ostrza”, czyli nie mających pochodnych w pewnych punktach, jest wiele i łatwo je produkować przy pomocy wartości bezwzględnej.

Są jeszcze “dziwniejsze” funkcje, które nie tylko w jednym, czy w skończonej liczbie punktów, nie mają pochodnej, ale nie mają jej w nieskończonej ilości punktów, choć równocześnie w nieskończonej ilości punktów ją mają. Taką funkcją jest funkcja Riemanna . Rys.6 przedstawia serię wykresów tej funkcji w otoczeniu punktu 1.

Rys.6. Wykresy funkcji Riemanna w otoczeniu punktu 1 w skalach 1, 5, 50, 1000.

Wykres funkcji Riemanna w otoczeniu punktu 1 nie staje się prostą nawet w tysiąckrotnym powiększeniu. W tym punkcie, jak i w nieskończenie wielu innych punktach, funkcja ta nie ma pochodnej. Są jednak punkty w których funkcja ta ma pochodną. Proszę spróbować znaleźć kilka z tych punktów. Dla ułatwienia podajemy, że jeden z nich widać na rys.6. Odpowiedź na końcu artykułu. Odpowiednikiem fizycznego ruchu dla funkcji Riemanna może być jakiś chaotyczny ruch cząsteczki, która w pewnych momentach wykazuje regularne zachowanie.

Zaprezentowany sposób interpretacji pochodnej pozwala w poglądowy sposób rozstrzygać czy funkcja jest różniczkowalna i obliczać przybliżoną wartość pochodnej. Odwołuje się on do prostych pojęć, takich jak powiększanie wykresu funkcji i obliczanie współczynnika kierunkowego prostej. Nie daje to jeszcze formalnej definicji pochodnej, ale przyczynia się do wyrobienia odpowiednich intuicji ułatwiających późniejsze przejęcie od ilorazu różnicowego do jego granicy. Po przedstawieniu powyższej interpretacji uczniowie powinni potrafić szacować wartość pochodnej funkcji we wskazanym punkcie wykresu.

W ten właśnie sposób można wyjaśniać na fizyce, że przebieg wykresu drogi dostarcza danych umożliwiających obliczanie prędkości. Prędkość jest to po prostu współczynnik kierunkowy prostej otrzymanej przez powiększanie wykresu drogi, zaś wektor prędkości leży na tej prostej.

W praktyce do przybliżonego wyznaczania pochodnej nie jest potrzebne nawet powiększanie. Można patrzeć na wykres położenia i w myśli albo na kartce dokonać powiększenia do prostej i ocenić wartość współczynnika kierunkowego czyli prędkości.

Łatwo również przejść od pochodnej w punkcie do funkcji pochodnej. Wystarczy zaznaczyć na układzie współrzędnych wartości współczynników kierunkowych odpowiednich prostych dla kilku lub kilkunastu wartości argumentów i połączyć otrzymane punkty. Doskonałym sprawdzianem rozumienia pochodnej jest program komputerowy Test-po.exe.

Pokażmy jeszcze w jaki sposób przejść od przedstawionej interpretacji do algebraicznego obliczania pochodnej. Weźmy jeszcze raz funkcję y=sin(x) w punkcie 1. Przybliżona wartość funkcji w tym punkcie wynosi 0.841470985. Ponieważ przy wyznaczaniu pochodnej wykonywaliśmy duże powiększenia wykresu w otoczeniu punktu 1, należy więc wziąć drugi punkt, bardzo bliski punktowi 1, np. 1.0001. Wartość funkcji w tym punkcie wynosi 0.841525011. Zatem przyrost wartości funkcji wynosi 0.000054026. Aby obliczyć pochodną musimy wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej wzdłuż której przebiega wykres funkcji w pobliżu punktu 1. Otrzymamy go, dzieląc przyrost wartości funkcji przez przyrost argumentu 0.0001. Wykonując to, otrzymujemy przybliżoną wartość pochodnej równą 0.5402605. Chcąc otrzymać dokładną wartość pochodnej należy wziąć punkty jeszcze bliższe punktowi 1, czyli przejść do granicy ilorazu różnicowego, przy x®1. Otrzymujemy wówczas, (po zastosowaniu odpowiednich metod wyznaczania granic), pochodną równą cos(1)=0.540302. Okazuje się, że różnice pomiędzy pochodną dokładną a jej przybliżoną wartością odczytywaną z ekranu są zazwyczaj małe, w tym przypadku różnica wynosi tylko 0.0003.

Podsumowanie. Przedstawiony sposób wprowadzenia pochodnej, poprzez powiększanie i wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej, zdaje się omijać trudności jakie napotykają uczniowie przy rozumieniu sensu pochodnej. Ten sposób nie korzysta z pojęcia stycznej i jest ono zbędne do interpretacji pochodnej. Uczniowie mogą utożsamiać pochodną funkcji z wartością współczynnika kierunkowego prostej otrzymanej z powiększania wykresu. Powinno to odpowiadać fizykom, i zawsze wtedy gdy rysują styczną mogą mówić, że rysują fragment wykresu funkcji w dużym powiększeniu. Ułatwi to znacznie rozumienie pojęć i przyczyni się do dostrzegania zależności ukrytych we wzorach i wykresach funkcji.

Eugeniusz Jakubas
Zamość, 1997r.

Odp. do funkcji Riemanna. W punktach p/3, p/5, p/7, itp. pochodna wynosi -1/2. Na rys.7 pokazano 2 wykresy dla x=p/3.

Rys.7. Wykresy funkcji Riemanna w otoczeniu punktu p/3 w skali 100 i 10000.

Literatura.

  1. Cegiełka K., Przyjemski J., Szymański K. - “Matematyka kl.III”, WSiP, 1994r.
  2. Jenike M. - “Fizyka I”, WSiP, 1996r.
  3. Olszewski J. -“Zwariowane funkcje” - “Delta” nr 11/96
  4. Praca zbiorowa -”Matematyka w szkole średniej” t.I, The School Mathematics Project, WSiP, 1992r.
  5. Tall D. - “Wizualne przedstawianie pojęć rachunku różniczkowego”- “Komputer w Szkole nr 11/1991”
  6. Tall D. - “Rachunek różniczkowy może być zrozumiały” - “Komputer w Szkole nr 12/1991”