Eugeniusz Jakubas - Zamość 2007

11 ciekawych zadań kalkulatorowo - komputerowych dla licealistów
z rozwiązaniami

Zadanie 1.
Wyznacz wartość poniższego ułamka z dokładnością do 4 miejsc po przecinku.

    
Rozwiązanie.

Zadanie 2.
Wyznacz dodatni pierwiastek równania x² - x - 6 = 0 przekształcając je do postaci x = 1 + 6/x. Wykorzystaj kalkulator i klawisze: 1, +, 6, /, Ans, Enter.
Rozwiązanie.

Zadanie 3.
Napisz program kalkulatorowy lub komputerowy, wyznaczający metodą iteracyjną dodatni pierwiastek równania x² - x - 6 = 0. Podaj interpretację geometryczną tego rozwiązania.
Rozwiązanie.

Zadanie 4.
Sprawdź, na poniższych przykładach, czy reguły pisemnego dodawania liczb można stosować do liczb zapisanych w postaci rozwinięć dziesiętnych, okresowych.

Rozwiązanie.

Zadanie 5.
Na poniższym rysunku przedstawiono dwa zbiory punktów:
- czerwony pas - wykres nierówności  |x| < 2,
- niebieski pas - wykres nierówności  |y| < 2.
Wspólna część obu pasów tworzy fioletowy kwadrat. Znajdź nierówność, której wykresem jest ten kwadrat oraz napisz program do graficznego rozwiązywania nierówności.

Rozwiązanie.

Zadanie 6.
Liczba n = 128574 ma ciekawą własność. Podwojenie tej liczby, czyli liczba 257148, jest zbudowana z tych samych cyfr co liczba n.
a) Znajdź najmniejszą liczbę spełniającą tę własność.
b) Znajdź najmniejszą liczbę n dla której również liczby 2n, 3n, 4n, 5n, 6n zbudowane są z tych samych cyfr co liczba n.
Rozwiązanie.

Zadanie 7.
Popatrz na rysunek przedstawiający 6 żaglówek i słońce. Odpręż się, rozluźnij wzrok i wywołaj tzw. podwójne widzenie (zez). Po chwili zobaczysz 7, 8 lub 9 żaglówek i 2 słońca. Rysunek taki nazywamy stereogramem (rysunkiem przestrzennym), na którym elementy nie są ustawione w jednej linii. Niektóre żaglówki są bliżej nas, a inne są w głębi.
a) Ile żaglówek widzisz i która jest najbliżej?
b) Napisz program komputerowy tworzący podobne rysunki.

Rozwiązanie.

Zadanie 8.
Dany jest ciąg Fibonacciego: a₁ = 1, a₂ = 1, a_n = a_n-1 + a_n-2.
a) Oblicz a₁, a₂, a₃, ..., a₈.
b) Oblicy S₁, S₂, S₃, ..., S₈ i zauważ ciekawą zależność  pomiędzy wyrazami a sumami.
a) Oblicz a₄₉ wiedząc, że S₄₇ = 7 778 742 048.
b) Napisz program obliczający wyrazy ciągu Fibonacciego i za jego pomocą sprawdź rozwiązanie podpunktu a).
Rozwiązanie.

Zadanie 9.
Sporządź za pomocą kalkulatora lub komputera następujące wykresy:
a)

b)

Rozwiązanie.

Zadanie 10.
Na płaszczyźnie dane są trzy dowolne, niewspółliniowe punkty A, B, C, różne od punktu (0, 0). Po płaszczyźnie skacze żaba, rozpoczynając skoki z punktu (0, 0). Przed każdym skokiem żaba wybiera losowo jeden z punktów, A lub B lub C, i w jego kierunku wykonuje skok. Długość każdego skoku jest równa połowie odległości pomiędzy miejscem w którym aktualnie się znajduje, a wybranym punktem. Napisz program który zaznaczy wszystkie miejsca w których zatrzyma się żaba. Zakładamy, że żaba wykonuje 5000 skoków. Dla ułatwienia obliczeń przyjmij, że punkty A, B, C są wierzchołkami trójkata równobocznego.
Rozwiązanie.

Zadanie 11.
Wyznacz iloraz wielomianów (2x³ - 5x² - 4x + 3) : (x - 3).
Rozwiązanie.

Rozwiązania.
(Kalkulator TI-83 lub programowanie w języku Turbo Pascal)

Rozwiązanie zadania 1.

Ustawiamy dokładność kalkulatora TI-83 na 4 miejsca po przecinku.
Wpisujemy do kalkulatora wartość 1 i naciskamy Enter.
Wpisujemy 1+6/Ans i naciskamy tyle razy klawisz Enter, ile pięter ma dany ułamek (w tym przypadku 28 razy).
(Uwaga: Każde naciśnięcie Enter powoduje podstawienie za Ans wartości otrzymanej w poprzednim kroku i obliczenie nowej wartości ze wzoru 1+6/Ans.)

Odpowiedź: 3,0000.

Rozwiązanie zadania 2.

Wykonujemy kroki (iteracje) za pomocą kalkulatora, identyczne jak w zadaniu 1.

 
Odpowiedź: x = 3,0000.

Rozwiązanie zadania 3.

program iteracje; {Turbo Pascal}
uses crt;
var x,y:real;
begin
  X:=1;
  Y:=1+6/X;
  while X<>Y do
  begin
    writeLn(X:4:4);
    X:=Y;
    Y:=1+6/X;
  end;
  readLn;
end.

Wyniki działania obu programów są identyczne:
1.0000
7.0000
1.8571
4.2308
......
......
......
2.9999
3.0001
3.0000

Interpretacja geometryczna. 
Niech dany będzie układ wspólrzędnych XOY i wykresy funkcji f(x) = x  i  g(x) = 1 + 6/x. 

Zaznaczamy na osi OX punkt startowy x = 1. 
Obliczamy wartość 1 + 6/1 = 7 i zaznaczamy ją na wykresie funkcji g(x).  
Podstawiamy 7 = x i zaznaczamy wartość 7 na wykresie funkcji f(x). 
Obliczamy wartość 1+6/x dla x = 7 i otrzymujemy: 1 + 6/7 = 1,8571, którą zaznaczamy na wykresie funkcji g(x).  
Postępujemy dalej według tej procedury, aż dochodzimy do punktu x = 3, który jest pierwiastkiem równania i równocześnie jest punktem przecięcia wykresów obu funkcji.

Uwaga:
Rozpoczynając procedurę z innego punktu startowego, np. x = 2, otrzymujemy ten sam wynik, sprawdź to na rysunku oraz za pomocą obu programów "Iteracje".

Rozwiązanie zadania 4.

Gdyby reguły dodawania liczb obowiązywały dla liczb zapisanych w postaci rozwinięć dziesiętnych okresowych, otrzymalibyśmy następujące wyniki:
 
W dwóch pierwszych przypadkach wyniki są prawidłowe, natomiast w trzecim przypadku wynik jest błędny, powinno być 18,(24).
Można to sprawdzić np. za pomocą kalkulatora: 14,858585858585 + 3,383838383838 = 18,242424242424 = 18,(24).
Zatem, reguł pisemnego dodawania liczb nie można stosować do liczb zapisanych w postaci rozwinięć dziesiętnych okresowych.

Rozwiązanie zadania 5.

Fioletowy kwadrat można określić nierównością: |x + y| + |x - y| < 4.

Rozwiązanie zadania 6.

a)

Program n_i_2n;  {Turbo Pascal}
uses crt;
var n,j,icn,ic2n:longInt;
    S:string;
begin
  clrscr;
  n:=1;
  repeat
    n:=n+1;
    str(n,S); icn:=1;
    for j:=1 to length(S) do icn:=icn*ord(S[j]);
    str(2*n,S); ic2n:=1;
    for j:=1 to length(S) do ic2n:=ic2n*ord(S[j]);
  until icn=ic2n;
  writeLn(2,'*',n,'=',2*n);
  readln;
end.

Po uruchomieniu programu otrzymujemy wynik 2*125874 = 251748, czyli najmniejszą liczbą spełniającą tę własność jest liczba 125874.

b) n =  142857; wynik ten można otrzymać modyfikując powyższy program "n_i_2n".

Rozwiązanie zadania 7.

a)
Gdy widzisz 7 żaglówek, to 5. żaglówka (licząc od lewej) jest najbliżej.
Gdy widzisz 8 żaglówek, to 6. żaglówka jest najbliżej.
Gdy widzisz 9 żaglówek, to 5. i 6. żaglówka są najbliżej.

Wyjaśnienie tego zjawiska znajdziesz w "Kalejdoskopie matematycznym" - Hugo Steinhausa.

b)

program stereogramy;
uses  graph;
var   karta,tryb,n,p:integer;
begin
  karta:=vga; tryb:=vgaHi; initGraph(karta,tryb,'');
  for n:=1 to 6 do
  begin
    p:=random(10);
    setFillStyle(1,red);
    fillEllipse(n*80+p,200,20,20);
    setFillStyle(1,green);
    bar(n*80+p,200,n*80+p+5,300);
  end;
  readln; closegraph;
end.

Po uruchomieniu programu otrzymujemy prosty stereogram:

Rozwiązanie zadania 8.

a) Wyznaczając pierwsze wyrazy ciągu Fibonacciego oraz ich sumy, zauważamy prostą prawidłowość:
             
Trzeci wyraz jest o jeden większy od sumy jednego wyrazu.
Czwarty wyraz jest o jeden większy od sumy dwóch wyrazów.
Piąty wyraz jest o jeden większy od sumy trzech wyrazów.
Szósty wyraz jest o jeden większy od sumy czterech wyrazów.
Siódmy wyraz jest o jeden większy od sumy pięciu wyrazów.
Ósmy wyraz jest o jeden większy od sumy sześciu wyrazów.
Itd., itd.
Czterdziesty dziewiąty wyraz jest o jeden większy od sumy czterdziestu siedmiu wyrazów.
Zatem, a₄₉ = 7 778 742 049.

b)
    
Uruchamiając ten program stwierdzamy, że rzeczywiście a₄₉ = 7 778 742 049.

Rozwiązanie zadania 9.

a) y =   

b) y = c^-1x² - c,  gdzie c = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Rozwiązanie zadania 10.

Po uruchomieniu programu otrzymujemy zbiór punktów przedstawjających miejsca w których zatrzymywała się żaba. Jest to figura, zwana trójkątem Sierpińskiego. Jest to przykład fraktala (każda część trójkąta jest podobna do całego trójkąta).

Rozwiązanie zadania 11.

Schemat Hornera:

Odp. 2x² + x - 1