Temat: Twierdzenie Eulera i jego zastosowanie. (liceum)                         Tw-Eulera.doc – 50 kB

 

Celem lekcji jest sformułowanie i udowodnienie twierdzenia Eulera dla figur płaskich i wielościanów oraz zastosowanie go do poszukiwania wielościanów foremnych.

 

Przebieg lekcji:

 

1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania 1.

 

Na płaszczyźnie danych jest p punktów (p>2). Punkty te połączono nieprzecinającymi się krzywymi tworząc spójny graf.

Ile obszarów zamkniętych utworzyły krzywe tego grafu?

 

Rozwiązanie:

Dla trzech punktów graf składa się z 2 lub 3 krzywych - rys.1.

 

              Rys.1

 

  Dla czterech punktów graf składa się z 3 lub z 4 lub z 5 lub z 6 krzywych - rys 2.

                                      Rys.2

 

Teza: Ilość s obszarów zamkniętych wynosi s = k-p+1.

 

Udowodnimy indukcyjnie wzór s = k-p+1 prowadząc indukcję ze względu na ilość p punktów grafu.

 

1o. Niech p=3 (rys.1). Jeżeli k=2 to s=0; jeśli k=3 to s=1

      Ze wzoru s = k-p+1 również otrzymujemy te same wartości: dla k=2,   s = 2-3+1 = 0, dla k=3, s=3-3+1=1,  zatem wzór jest prawdziwy dla p=3.

 

2o. Załóżmy, że dla każdego grafu składającego się z p punktów i mającego k krzywych, zachodzi równość s = k-p+1.

Udowodnimy, że dla grafu mającego p+1 punktów również zachodzi ten wzór.

Dowód:

Dodając jeden nowy punkt do grafu składającego się z p punktów musimy połączyć go nową krzywą z którymś z dotychczasowych punktów. Nie powstanie przy tym żaden nowy obszar zamknięty ponieważ jest to pierwsza krzywa wychodząca z tego punktu.

Wyrażenie k-p+1 przyjmie więc postać (k+1)-(p+1)+1=k-p+1 = s, czyli wzór jest spełniony.

Zbudowanie r nowych połączeń pomiędzy p+1 punktami w każdym z możliwych układów,  spowoduje wzrost liczby krzywych o r oraz wzrost liczby obszarów również o r, ponieważ dorysowanie każdej krzywej albo tworzy jeden nowy obszar, albo też rozdziela już istniejący obszar na dwa obszary, czyli przybywa jeden obszar.

Wyrażenie s = k-p+1 przyjmie więc postać s+r = (k+1+r)-(p+1)+1, a stąd

s+r = k+r-p+1 i ostatecznie s = k-p+1. c.n.d.

 

Zatem wzór s= k-p+1 jest prawdziwy dla wszelkich grafów składających się z p punktów.

 

2. Rozwiązanie zadania 2.

Korzystając ze wzoru s = k-p+1 znajdź związek między ilością ścian, ilością wierzchołków i ilością krawędzi dowolnego wielościanu wypukłego?

 

Do rozwiązania tego zadania należy najpierw dokonać myślowej transformacji zamieniającej wielościan na figurę płaską. W tym celu należy usunąć jedną ze ścian wielościanu, zostawiając jej krawędzie, i zakładając, że wielościan jest wykonany z elastycznego materiału, rozciągnąć go płasko na płaszczyźnie. Wówczas spełnioniony jest wzór s= k-p+1.

Przyjmując oznaczenia s=s (ilość ścian wielościanu), k - ilość krawędzi wielościanu, p= w (ilość wierzchołków wielościanu) otrzymujemy s= k-w+1. Dodając teraz usuniętą wcześniej ścianę otrzymujemy ostatecznie:

Odpowiedź:  s =  k - w + 2. (Tw. Eulera)

 

3. Wprowadzenie definicji i przykładów wielościanów foremnych.

 

Definicja.

Wielościan nazywamy foremnym jeśli wszystkie jego ściany są przystające i wszystkie naroża również są przystające.

 

Przykładami wielościanów foremnych są sześcian i czworościan foremny.

 

4. Rozwiązanie zadania 3.

Znajdź wszystkie wielościany foremne.

 

Rozwiązanie:

Ponieważ poszukiwany wielościan ma być foremny więc przyjmijmy, że ma on pewną ilość ścian s i każda ściana ma a boków, oraz że ma on w wierzchołków i z każdego wierzchołka wychodzi b krawędzi. Przyjmijmy też, że ma on k  krawędzi.

Otrzymujemy stąd  s*a/2 = k   i  w*b/2=k, a po przekształceniu   s=2*k/a  i  w=2*k/b.

Korzystamy teraz ze wzoru Eulera s =  k - w + 2 i wstawiamy do niego dwa ostatnie wyrażenia. Otrzymujemy wyrażenie  2*k/a = k - 2*k/b + 2 a stąd po przekształceniu

2/a + 2/b - 2/k = 1

 

Aby znaleźć jakiś wielościan foremny należy dobrać odpowiednią trójkę liczb a, b, k spełniającą ostatnią równość. Uczniowie mogą albo ręcznie sprawdzać różne trójki liczb albo  napisać krótki program komputerowy do znajdowania tych liczb.

           

program Wielosciany_foremne;  {Turbo Pascal}

uses crt;

var a,b,k:integer;

begin

     clrScr;

     for a:=3 to 50 do

     for b:=3 to 50 do

     for k:=3 to 50 do

          if 2/a+2/b-2/k=1 then

             writeLn(a,'  ',b,'  ',k,'  ',2*k/a:2:0);

     readLn;

end.

 

program Wielosciany_foremne;      {Think Pascal}

var  a, b, k: integer;

begin  

             for a := 3 to 50 do    

             for b := 3 to 50 do    

             for k := 3 to 50 do

          if 2 / a + 2 / b - 2 / k = 1 then

             writeln(a, b, k,2*k/a:2:0);

  end.

 

 

Powyższy program daje tylko trzy rozwiązania:

a=3          b=3      k=6      s=4

a=3          b=5      k=30    s=20

a=5          b=3      k=30    s=12

Wśród tych rozwiązań nie ma jednak sześcianu. Nie jest to błąd programu lecz niedokładność obliczeń. Należy omówić z uczniami rachunek błędów i zmienić linię programu if 2/a+2/b-2/k=1 then  na postać if abs(2/a+2/b-2/k-1)<0.000001 then.

Teraz otrzymujemy wszystkie rozwiązania, dające wszystkie rodzaje wielościanów foremnych:

 

a=3, b=3, k=6, s=4 - czworościan foremny

a=3, b=4, k=12, s=8 - ośmiościan foremny

a=3, b=5, k=30, s=20 - dwudziestościan foremny

a=4, b=3, k=12, s=6 - sześcian

a=5, b=3, k=30, s=12 - dwunastościan foremny.

 

 

Należy jeszcze uzasadnić (na podstawie analizy wzoru 2/a+2/b-2/k=1), że poszukiwania trójek a, b, k wśród coraz większych liczb nie jest potrzebne, ponieważ 2/a+2/b musiałoby być >1 co nie może mieć miejsca. Znalezione wielościany są więc wszystkimi możliwymi wielościanami foremnymi.

 

5. Na zakończenie lekcji należy omówić zależności pomiędzy wielościanami foremnymi wykorzystując program „Wiel-for.exe”.