Temat: Prawo stabilności częstości zdarzeń losowych. (gimnazjum)               czestosc.doc – 35 kB

 

Celem lekcji jest zapoznanie z prawem stabilności częstości zdarzeń losowych.

 

Przebieg lekcji:

 

  1. Wykonanie przez każdego ucznia 10 rzutów monetą i zapisanie wyników na tablicy – rys.1.

Rys.1. Wyniki 10 rzutów monetą uzyskane przez 22 uczniów.

 

  1. Omówienie wyników: otrzymano 116 orłów i 104 reszki. Wyniki różnią się o 6 od liczby 110, oznaczającej połowę rzutów.
  2. Częstość otrzymania orła wynosi 116/220»0,5272727, częstość otrzymania reszki 104/220»0,4727272. Częstości różnią się o 0,0272727 od liczby 0,5.

 

  1. Wykonanie serii 10000 rzutów monetą przy pomocy poniższego programu Rzut_moneta.

 

program Rzut_moneta;              {Turbo Pascal}

uses graph;

var   karta, tryb: integer;

          n, il_rz, il_o, il_r: longInt;  x, y, los: real;

begin

   karta:= detect; initGraph(karta, tryb, '');

   il_rz := 10000; il_o := 0; il_r := 0;

   for n := 1 to il_rz do

      begin

         los := random;

         if los < 0.5 then

          begin

           il_o := il_o + 1;

            x := il_o / 100 * cos(il_o * pi / 180);

            y := il_o / 100 * sin(il_o * pi / 180);

           fillEllipse(round(x+200),round(y+200),1,1);

          end

         else

          begin

             il_r := il_r + 1;

             x := il_r / 100 * cos(il_r * pi / 180);

             y := il_r / 100 * sin(il_r * pi / 180);

           fillEllipse(round(x+400),round(y+200),1,1);

          end;

      end;

   writeLn('  Ilosc orlow = ', il_o : 1,

                  '  Ilosc reszek = ', il_r : 1);

   readLn; closeGraph;

end.

program Rzut_moneta;              {Think Pascal}

   var  n, il_rz, il_o, il_r, los: longInt; x, y: real;

begin

   randSeed := tickCount;

   il_rz := 10000; il_o := 0;  il_r := 0;

   for n := 1 to il_rz do

      begin

         los := random;

         if los < 0 then

          begin

             il_o := il_o + 1;

             x := il_o / 100 * cos(il_o * pi / 180);

             y := il_o / 100 * sin(il_o * pi / 180);

            paintCircle(round(x+150),round(y+200),1);

          end

         else

          begin

             il_r := il_r + 1;

             x := il_r / 100 * cos(il_r * pi / 180);

             y := il_r / 100 * sin(il_r * pi / 180);

             paintCircle(round(x+450),round(y+200),1);

            end;

      end;

    showText;

   writeLn('  Ilosc orlow = ', il_o : 1);

                  '  Ilosc reszek = ', il_r : 1);

end.

 

 

Rys.2. Wyniki symulacji 10000 rzutów monetą. Każdy orzeł odwzorowany jest

w postaci punktu na lewej spirali a reszka na prawej spirali.

 

  1. Omówienie wyników - uzyskano 5012 orłów i 4988 reszek. Wyniki różnią się o 12 od liczby 5000, oznaczającej połowę rzutów.
  2.  Częstość otrzymania orła wynosi 5012/10000=0,5012, częstość otrzymania reszki 4988/10000=0,4988. Różnica między tymi częstościami, a liczbą 0,5 wynosi 0, 0012.

 

  1. Sformułowanie problemu 1:

Zwiekszamy liczbę rzutów monetą do 100000. Czy liczby uzyskanych orłów i reszek będa bliskie połowie rzutów, czyli 50000? Czy uzyskane częstości orła i reszki będą bliskie 0,5?

(Przed przystąpieniem do rozwiązywania tego problemu można poprosić uczniów o podanie spodziewanej liczby orłów i reszek?)

 

Rozwiązanie.

Wykonując komputerową symulację 100000 rzutów otrzymano 49949 orłów i 50051 reszek.

Liczby te różnią się o 51 od liczby 50000, czyli o dużo więcej niż różnica 12 w symulacji 10000 rzutów.

Częstość uzyskania orła wynosi 0,49949, a częstość uzyskania reszki 0,50051. Częstości te różnią się od 0,5 tylko o 0,0005, czyli około 20 razy mniej niż dla 10000 rzutów.

 

Wykonując drugą symulację 100000 rzutów otrzymano 50038 orłów i 49962 reszki.

Tutaj również liczby uzyskanych orłów i reszek są różne od liczby 50000 o blisko 40, ale częstości 0,50038 i 0,49962 są różne od 0,5 o mniej niż 0,0004.

 

Wniosek 1.

W zjawisku losowym, polegającym na rzucie monetą, częstość pojawienia się orła i reszki jest ustabilizowana na poziomie 0,5. Oznacza to, że przy coraz wiekszej liczbie rzutów częstość ta będzie coraz mniej różnić się od 0.5. (Nie oznacza to jednak, że liczba orłów i reszek będzie coraz mniej różnić się od połowy liczby rzutów.)

 

  1. Sprawdzenie słusznosci wniosku 1 innym narzędziem badawczym.

Wykorzystujemy arkusz kalkulacyjny Excel, zadając w nim 65535 rzutów monetą –rys.3.

Rys.3. Fragment arkusza pokazujący wyniki 65535 rzutów monetą.

 

W komórkach A2..A65535 wpisane są, przy pomocy formuły „=los()”, losowe liczby.

Liczba 0,5 w komórce B2 oznacza, że jeśli w jakiejś komórce An jest liczba mniejsza od 0,5 to jest to orzeł.

Liczba 1 w komórce B3 oznacza, że jeśli w jakiejś komórce An jest liczba z przedziału (0,5; 1> to jest to reszka.

W komórkach C2..C4 wpisane są formuły „{=częstość(A2:A65535;B2:B3)}” obliczające liczbę orłów i reszek.

W komórce E2 wpisane są formuły „=C2/65535” i „=C3/65535” oznaczające częstości orła i reszki.

 

            Powuyższed wyniki, otrzymane przy pomocy arkusza Excel, potwierdzają słuszność wniosku 1.

 

  1. Badanie stabilności częstości zdarzeń w rzucie sześcienną kostką przy pomocy poniższego programu Rzut_kostka.

 

Program Rzut_kostka;

uses graph;

var karta,tryb,n,los:integer;

    ilosc,czestosc:string;

    t:array[1..6] of integer;

begin

  karta:=detect; initGraph(karta,tryb,'');

  for n:=1 to 6 do t[n]:=0;

  randomize;

  for n:=1 to 1000 do

  begin

    los:=random(6)+1; inc(t[los]);

    line(los*85,455-t[los],los*85+37,455-t[los]);

    line(los*85+40,455-t[los],

            los*85+55,455-15-t[los]);

  end;

  for n:=1 to 6 do

  begin

    str(t[n],ilosc);

    outTextxy(n*85+20,441-t[n],ilosc);

    str(t[n]/2000:1:4,czestosc);

    outTextxy(n*85+10,411-t[n],czestosc);

  end;

  readln; closeGraph;

end.

program Rzut_kostka;

   var

      n, i, los: longInt;

      t: array[1..6] of integer;

begin

   showText;

   randSeed := tickCount;

   n := 2000;

   for n := 1 to n do

      begin

         los := abs(random) mod 6 + 1;

         t[los] := t[los] + 1;

         drawLine(los * 85, 410 - t[los],

                            los * 85 + 37, 410 - t[los]);

         drawLine(los * 85 + 40, 410 - t[los],

                            los * 85 + 55, 410 - 15 - t[los]);

      end;

   showText;

   for i := 1 to 6 do  write('        ', t[i]);

   writeLn;

   for i := 1 to 6 do  write('        ', t[i] / n : 1 : 6);

end.

 

 

      

Rys.4. Symulacja 1000 rzutów kostką.

 

Wniosek 2.

W zjawisku losowym, polegającym na rzucie sześcienną kostką, częstość pojawienia się każdej ścianki jest ustabilizowana na poziomie 0,1666.

 

  1. Sprawdzenie słusznosci wniosku 2 innym narzędziem badawczym.

Wykorzystujemy arkusz kalkulacyjny Excel, zadając w nim 65535 rzutów kostką –rys.5.

Rys.3. Fragment arkusza pokazujący wyniki 65535 rzutów kostką.

 

W komórkach A2..A65535 wpisane są, przy pomocy formuły „=los()”, losowe liczby.

Liczba 1/6 w B2 oznacza, że jeśli w jakiejś komórce An jest liczba mniejsza od 1/6 to na kostce jest to jedynka.

Liczba 2/6 w B3 oznacza, że jeśli w jakiejś komórce An jest liczba z przedziału (1/6; 2/6> to na kostce jest to dwójka.

Analogiczne znaczenie mają liczby w komórkach B4, B5, B6, B7.

W komórkach C2..C4 wpisane są formuły „{=częstość(A2:A65535;B2:B7)}” obliczające liczbę oczek na kostce.

W komórkach E2..E7 wpisane sa formuły „=C2/65535”, „=C3/65535”, itd., obliczające częstości.

 

            Powyższe wyniki, otrzymane przy pomocy arkusza Excel, potwierdzają słuszność wniosku 2.

 

Wniosek ogólny: (prawo stabilności częstości zdarzeń)

Częstość zdarzeń w zjawiskach losowych, jest ustabilizowana na odpowiednim dla każdego zdarzenia poziomie.