Temat: Pochodna funkcji. (liceum)                                                   pochodna1.doc – 109 kB

 

Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji. Jest to nowe podejście do pojęcia pochodnej, możliwe do realizacji tylko przy pomocy komputera. Dochodzimy do niego poprzez trzy serie ćwiczeń, ćwiczeń dotyczących prostych, ćwiczeń badających wzajemne położenie prostych i krzywych i ćwiczeń sprawdzających.

 

Przebieg lekcji:

 

1. Ćwiczenia dotyczące prostych.

Ćwiczenie 1.

Narysować na ekranie komputera wykres funkcji liniowej f(x)=2x-1, odczytać, przy pomocy siatki układu współrzędnych, przyrost wartości funkcji dla jednostkowego przyrostu argumentu i objaśnić znaczenie współczynnika kierunkowego wynoszącego 2.

Rozwiązanie - rys.1. Do rysowania wykresów wykorzystujemy program wyk-sk2.exe.

 

Rys.1. Wykres f(x)=2x-1 i zaznaczony przyrost wartości funkcji.

 

            Współczynnik kierunkowy 2 oznacza, że dla każdego przyrostu argumentu przyrasta dwa razy więcej wartości funkcji. Inaczej, prędkość wzrastania funkcji wynosi dwie jednostki wartości na jedną jednostkę argumentu.

 

Ćwiczenie 2.

Ułóż równanie i narysuj, na ekranie komputera, dowolna prostą przechodzącą przez punkt (2, 3).

 

Rozwiązanie:

Niech prosta przechodząca przez punkt (xo, yo) ma postać y=ax+b. Wstawiając współrzędne xo, yo do tego równania otrzymujemy yo=axo+b, stąd b=yo-axo. Ostatecznie otrzymujemy y=a(x-xo)+yo. Równanie to nazywa się równaniem pęku prostych. Dla punktu (2, 3) otrzymujemy y=a(x-2)+3. Kilka prostych tego pęku przedstawia rys. 2.

Rys. 2. Pęk prostych y=a(x-2)+3.

 

Ćwiczenie 3. Narysuj prostą przechodzącą przez punkty A=(0, -1), B=(1, 1), C=(1.5, 2) i wykaż algebraicznie, że są one współliniowe.

Rozwiązanie: Niech A=(0, -1), B=(1, 1), C=(1.5, 2).

Prostą przechodzącą przez punkty A=(0, -1), B=(1, 1) wyznaczamy z równania .

Otrzymujemy: y = 2x-1, skąd łatwo sprawdzić, że punkt C=(1.5, 2) należy do tej prostej – rys.3.

Rys. 3. Prosta przechodzącą przez te punkty A=(0, -1), B=(1, 1), C=(1.5, 2).

            Sprawdzenie algebraiczne:

AB=, BC=, AC=

Korzystając z warunku współliniowości punktów AC= AB+BC otrzymujemy:

11.25 = 11.25

zatem punkty A, B, C są współlniowe.

 

Ćwiczenie 4. Wyznaczyć równanie kierunkowe prostej mając dany (na ekranie komputera) jej wykres.

(Do zadawania prostych wykorzystujemy opcję "Losuj prostą" - rys.2)


Rys.4. Wykres prostej, której równanie należy wyznaczyć.

 

Rozwiązanie - I sposób:

Program wyk-sk2.exe podaje współrzędne x0, y0 punktu przecięcia wykresu z osią OY. Korzystamy więc z tego punktu i wpisujemy do programu prostą g(x) = k*(x-x0)+y0. Metodą „prób i błędów” (przy pomocy klawisza „k”) dobieramy parametr k tak, aby wykres prostej pokrył się z wylosowaną prostą.

                        II sposób:

Równanie prostej można wyznaczyć wybierając punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych i układając równanie prostej przechodzącej przez te punkty. W programie wyk-sk2.exe współrzędne punktów wykresu odczytujemy przy pomocy „krzyżyka” poruszanego strzałkami. Dla prostej z rys. 4 otrzymujemy:

-punkt przecięcia z osią OY: ,

-punkt przecięcia z osią OX: ,

-równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

, , .

W celu sprawdzenia poprawności obliczeń rysujemy wykres otrzymanej prostej i widzimy, że pokrywa się on idealnie z wylosowaną prostą.

 

2. Ćwiczenie badające wzajemne położenie prostych i krzywych.

 

Ćwiczenie 5. Narysować wykres funkcji f(x)=x2 i kilka prostych przechodzących przez punkt  należący do wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie – rys.5.

Pole tekstowe:

Rys.5. Wykres funkcji f(x)=x2 i proste a, b, c, d, e, f przechodzące przez punkt .

 


Wszystkie proste a, b, c, d, e przechodzą punkt , jednak wydaje się że proste d i e mają z parabolą więcej niż jeden punkt wspólny a może nawet pokrywają się z jej fragmentem. Dalsze ćwiczenia pozwolą dokładniej zbadać tę kwestię.

 

Ćwiczenie 6. Zbadać wzajemne położenie prostej y=1.7*(x-0.75)+0.5625 i paraboli y=x2.

            Rozwiązanie - rys.6 i rys 7.

Rys.6. Funkcja f(x)=x2 i prosta

y=1.7*(x-0.75)+0.5625,

skala=1

 

Rys.7. Funkcja f(x)=x2 i prosta

y=1.7*(x-0.75)+0.5625,

skala=1000

 

W celu dokładnego obejrzenia wzajemnego położenia obu funkcji w otoczenia punktu (x0,y0), należy powiększyć, przy pomocy klawisza "M", wykresy prostej i paraboli. Wykonując to kilkakrotnie obserwujemy, że wykres paraboli staje się coraz bardziej prosty a punkt przecięcia paraboli z prostą jest dokładnie jeden - rys.7.

 

Ćwiczenie 7. Zbadać wzajemne położenie prostej y=1.5*(x-0.75)+0.5625 i paraboli y=x2.

            Rozwiązanie - rys.8 i rys 9.

 

Rys.8. Funkcja f(x)=x2 i prosta

y=1.5*(x-0.75)+0.5625,

skala=1

Rys.9. Funkcja f(x)=x2 i prosta

y=1.5*(x-0.75)+0.5625,

skala=1000

 

Badając wzajemne położenie prostej y=1.5*(x-0.75)+0.5625 i paraboli y=x2 w coraz większej skali, obserwujemy, że wykres paraboli staje się coraz bardziej prosty i wszystkie punkty prostej i paraboli pokrywają się. Nie zachodziło to dla żadnej innej prostej tylko dla y=1.5*(x-0.75)+0.5625. Zatem liczba 1.5 ma szczególne znaczenie dla funkcji f(x)=x2 w punkcie . Mianowicie, jest ona tym jedynym współczynnikiem kierunkowym, dla którego prosta pokrywa się z prostoliniowym fragmentem wykresu paraboli. Liczbę tę nazywamy pochodną funkcji.

W tym ujęciu należy kojarzyć pochodną ze współczynnikiem kierunkowym prostej pokrywającej się z prostoliniowym fragmentem wykresu funkcji. (Nie są do tego potrzebne ani pojęcia siecznej i stycznej ani ilorazu różnicowego i granicy. Dopiero na dalszym etapie kształcenia wprowadzamy formalną definicje pochodnej, jako granicę ciągu ilorazów różnicowych.)

W ćw. 1 interpretowaliśmy współczynnik kierunkowy jako liczbę określającą przyrost wartości funkcji przypadający na jednostkę przyrostu argumentu. Zatem można powiedzieć, że w przypadku funkcji f(x)=x2, na każdą jednostkę przyrostu argumentu, w otoczeniu punktu 0.75, przybywa 1.5 jej wartości. Zatem na pytanie, jak szybko rosną wartości funkcji f(x)=x2 w otoczeniu punktu 0.75, należałoby odpowiedzieć, że z prędkością 1.5 wartości na jednostkę. Zatem liczba (pochodna) 1.5 określa szybkość zmian wartości funkcji f(x)=x2 w otoczeniu punktu 0.75.

 

 

Ćwiczenie 8. Zbadać, czy dla innych punktów paraboli, odpowiednio powiększony fragment wykresu jest prosty, a więc czy istnieje liczba (pochodna), która jest współczynnikiem kierunkowym prostej pokrywającej się z tym prostoliniowym fragmentem wykresu?

 

Rozwiązanie.

Wykorzystując program wyk-sk2.exe widzimy, że dla wszystkich punktów paraboli tak jest. Dla punktu x0=1 jest to liczba (pochodna) 2. Dla punktu x0=-0.5 jest nią liczba (pochodna) -1. Należy to sprawdzić wykonując odpowiednie wykresy i ich powiększenia.

 

Wniosek.

Dla każdego punktu paraboli f(x)=x2 istnieje liczba (pochodna), określająca kierunek jej prostoliniowego przebiegu w otoczeniu tego punktu.

 

Ćwiczenie 9. Zbadać, czy funkcja f(x) = sin(x) posiada również taką własność?

 

Rozwiązanie.

Przy pomocy programu wyk-sk2.exe udaje się znajdować takie liczby (pochodne). Np. dla x0=1 szukaną liczbą (pochodną) jest 0.54 i prosta ma równanie g(x)=0.54*(x-1)+0.841470984808. Zatem i dla tej funkcji możemy sformułować, analogiczną jak dla paraboli, własność, że dla każdego punktu sinusoidy f(x)=sin(x), istnieje liczba (pochodna), określająca kierunek jej prostoliniowego przebiegu w otoczeniu danego punktu.

 

Ćwiczenie 10. Zbadać, czy wykres każdej funkcji, w każdym dostatecznie małym przedziale, przebiega prostoliniowo?

(Pytanie to można sformułować również inaczej: Zbadać, czy każda funkcja w każdym punkcie ma pochodną?)

 

Rozwiązanie.

Badając, przy pomocy programu wyk-sk2.exe, "zwykłe" funkcje, takie jak kwadratowe, wielomianowe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne widać, że posiadają one tę własność (mają pochodną). Nawet w wierzchołkach parabol i innych krzywych, gdzie występuje mocne zakrzywienie wykresu, odpowiednio mały fragment jest prostoliniowy i co ciekawe, równoległy do osi OX. Są jednak funkcje, które w otoczeniu jakiegoś punktu nie mają tej własności (nie mają pochodnej). Łatwo takie funkcje budować. Wystarczy utworzyć "ostrze", które w żadnym powiększeniu nie da prostej. Takie „ostrza” tworzy wartość bezwzględna. Np. ½x½, ½x2-x-2½, ½cos(4x) ½ - rys. 8 - w punktach tworzących "ostrza" , nawet w dostatecznie dużym powiększeniu, wykresy nie przebiegają prostoliniowo.

 

 

Rys. 8. Wykresy funkcji f(x)= ½x½, f(x)=½x2-x-2½ i f(x)=½cos(x) ½, które w „ostrzach” nie mają pochodnej.

 

 

3. Ćwiczenia sprawdzające.

 

Ćwiczenie 11. Wykorzystując program test-po.exe zaznacz na układzie współrzędnych wartość pochodnej dla dziesięciu punktów wykresu funkcji y = f(x).

 

Rozwiązanie – rys. 9.

 

 

Rys.9. Wartości pochodnej (zielone kropki) funkcji y = f(x).

           

            Program test-po.exe składa się z 50 ćwiczeń. Ćwiczenie jest zaliczone, jeśli wartości pochodnej, zaznaczone przez ucznia, nie odbiegają zbyt daleko od prawidłowego wykresu pochodnej. Test można zaliczyć na ocenę celującą, jeśli uczeń potrafi jednym pociągnięciem myszki narysować całą pochodną.