Temat: Przekształcenia geometryczne. (liceum)                                prz-geo.doc – 74 kB

 

Celem lekcji jest zapoznanie z obrazami figur w przekształceniach geometrycznych oraz wyprowadzenie wzorów analitycznym na przekształcenia.

 

Przebieg lekcji:

 

1. Przypomnienie definicji przekształceń geometrycznych: translacji, symetrii środkowej, symetrii osiowej, powinowactwa, jednokładności oraz (w klasach mat.-fiz.) obrotu, przekształcenia konchoidalnego i przekształcenia afinicznego.

 

2. Omówienie algorytmu do komputerowego otrzymywania obrazu figury w przekształceniu.

Program Przeksztalcenia_geometryczne;       {Turbo Pascal}

uses Graph;

var karta,tryb,n:integer;

    x,y,xNowe,yNowe:real;

begin

  karta:=detect; initGraph(karta,tryb,'');

  line(0,400,639,400); for n:=1 to 32 do putPixel(n*20,402,15);

  line(80,0,80,479); for n:=1 to 24 do putPixel(78,n*20,15);

  setTextStyle(triplexFont,horizDir,4);

   outTextXY(110,340,'MATEMATYKA');

  rectangle(100,340,320,380); fillEllipse(210,360,35,25);

  repeat

    y:=0; x:=x+1/20;

    repeat

      y:=y+1/20;

     if getpixel(round(x*20+80),round(-y*20+400))=white then

     begin

      xNowe:=x+10;

      yNowe:=y+6;

     putPixel(round(xNowe*20+80),round(-yNowe*20+400),9);

     end;

    until y>4;

  until x>12;

  readLn; closeGraph;

end.

 

program Prz_geo;              {Think Pascal}

var  x, y, xnowe, ynowe: longint;

begin

     textFace([bold]);

     textSize(30);

     moveTo(30, 380);

     drawString('MATEMATYKA');

     frameRect(350, 20, 390, 250);

     paintCircle(150, 350, 45);

     foreColor(redColor);

     for x := 0 to 300 do

     for y := 0 to 120 do

             if getPixel(x, 400 - y) then

             begin

                  xnowe := x + 250;

                  ynowe := y + 200;

                  paintCircle(xnowe, 400 - ynowe, 1);

             end;

end.

 

 

Po uruchomieniu programu otrzymujemy obraz figury złożonej z prostokąta, koła i napisu MATEMATYKA przesunięty o wektor [10,6] - rys.1.

Rys.1. Translacja o wektor [6, 4]

 

 3. Wyprowadzenie ogólnych wzorów analitycznych na translację o wektor [a,b]:

x’ = x+a

y’ = y+b

 

4. Zadanie.

Wykorzystując program „Narzędzia Matematyczne II” - WSiP dobrać wzory na x’ (xnowe) i y’ (ynowe) tak, aby otrzymać:

 

a)        symetrię środkową – rys.2,

b)        symetrię osiową względem prostej y=b – rys.3,

c)        symetrię osiową względem prostej y=mx – rys.4,

d)        obrót o kąt a  - rys.5,

e)        jednokładność – rys.6,

f)          powinowactwo względem osi OX – rys.7,

g)        przekształcenie konchoidalne – rys.8,

h)        przekształcenie afiniczne – rys.9.

 

Rozwiązanie.

Uczniowie rozwiązują zadanie metodą „prób i błędów”. Wpisują wzory na x’ i y’, obserwują, jaki otrzymali wynik i zmieniają te wzory tak, aby otrzymać dane przekształcenie.

 

Rys.2

Symetria środkowa względem punktu (a,b)

x' = 2*a-x

y’ = 2*b-y

Rys.3

Symetria osiowa względem prostej y=b

x’ = x

y’ = 2*b-y

Rys.4

Symetria osiowa względem prostej y=mx

x'=((1-m2)x+2my)/(m2+1)

y'=(2mx+(m2-1)y)/(m2+1)

Rys.5

Obrót o kąt a dookoła punktu (0,0)

x' = x*cos(a) - y*sin(a)

y' = x*sin(a) + y*cos(a)

Rys.6

Jednokładność względem punktu (0,0) w skali k

x’ = k*x

y’ = k*y

Rys.7

Powinowactwo względem osi OY w skali k

   x' = k*x

   y' = y

Rys.8

Przekształcenie konchoidalne względem punktu (0,0) o odcinek d

x' = x+x*d /

y' = y+y*d /

Rys.9

Przekształcenie afiniczne

x'=a*x+b*y+c

y'=d*x+e*y+f

 

5. Zadanie domowe.

1.      Znaleźć wzory na symetrię osiową względem prostej x = a.

2.      Znaleźć wzory na powinowactwo prostokątne względem osi OX w skali k.

3.      Znaleźć wzory na przekształcenia przedstawione na rys.10 i 11.

 

Rys.10

x’ = ???

y’ = ???

Rys.11

x’ = ???

y’ = ???