Eugeniusz Jakubas - Schemat Bernouliego

Temat: Schemat Bernoulli’ego. (liceum) sch-Bern.doc – 76 kB

Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia schematu Bernoulli’ego, wyznaczanie częstości i prawdopodobieństw zdarzeń w schemacie Bernoulli’ego, zapoznanie z rozkładem dwumianowym i porównanie go z rozkładem normalnym oraz prawo wielkich liczb Bernoulli’ego.

Przebieg lekcji:

1. Wprowadzenie.

Schemat Bernoulli’ego jest to ciąg powtórzeń (prób) tego samego doświadczenia losowego, w którym obserwujemy zachodzenie ustalonego zdarzenia A. Wynik każdego doświadczenia jest niezależny od innych doświadczeń i nazywamy go sukcesem jeżeli jest zgodny ze zdarzeniem A, w przeciwnym razie nazywamy go porażką. Każda próba musi odbywać się w tych samych warunkach, tak aby prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie było takie samo.

2. Przykład: Rzucamy 40 razy monetą. Interesującym nas zdarzeniem niech będzie wypadnięcie orła. Wyznaczymy częstośc i prawdopodobieństwo otrzymania 20 orłów. (Przed rozwiązaniem można poprosić uczniów o podanie intuicyjnych wyników, np. czy prawdopodobieństwo to będzie większe, czy mniejsze niż 1/2)

3. Praktyczne wyznaczenie częstości otrzymania 20 orłów w 40 rzutach monetą.

Każdy uczeń wykonuje 40 rzutów monetą i zaznacza, na wspólnym dla całej klasy wykresie, ilość otrzymanych orłów - rys 1.

Rys.1. Wyniki 40 rzutów monetą dla 30 uczniów.

4. Omówienie otrzymanych wyniów.

W klasie 30 osobowej 7 uczniów uzyskało 20 orłów w 40 rzutach monetą. Zatem częstość otrzymania 20 orłów dla tej klasy wynosi .

5. Przypomnienie prawa stabilności częstości zdarzeń - częstość zdarzeń w masowych zjawiskach losowych, jest ustabilizowana na odpowiednim dla każdego zdarzenia poziomie.

6.Problem 1: Na jakim poziomie ustabilizuje się częstość otrzymania 20 orłów w 40 rzutach monetą, jeżeli rzuty wykona duża ilość osób.

7.Ułożenie programu do symulacji 40 rzutów monetą dla dużej liczby uczniów (deska Galtona).

program Deska_Galtona; {Turbo Pascal}

uses graph,crt;

var karta,tryb,n,k,i,wi,ko,ilO : integer;

t:array[0..40] of integer;

begin

karta:=vga; tryb:=vgaHi; initGraph(karta,tryb,'');

randomize; bar(0,475,639,479);

for n:=0 to 40 do

for k:=1 to n+2 do fillEllipse(k*14+287-n*7,n*5+10,1,1);

for i:=1 to 400 do

begin

ko:=308; wi:=10; fillEllipse(ko,wi,2,2);

for n:=1 to 40 do

begin

setColor(black); setFillStyle(1,black); fillEllipse(ko,wi,2,2);

if random<0.5 then ko:=ko-7 else ko:=ko+7; wi:=wi+5;

setColor(lightRed); setFillStyle(1,lightRed); fillEllipse(ko,wi,2,2);

delay(50);

end;

setColor(black); setFillStyle(1,black); fillEllipse(ko,wi,2,2);

ilO:=(ko-28) div 14; t[ilO]:=t[ilO]+1;

setColor(lightRed); setFillStyle(1,lightRed); fillEllipse(ko,477-t[ilO]*4,2,2);

end;

readLn; closeGraph;

end.

8. Uruchamianie programu dla różnych ilości uczniów i obserwowanie częstości otrzymywania poszczególnych ilości orłów- rys.2.

Rys.2. Wyniki symulacji rzutów monetą dla 300 uczniów.

9. Odpowiedź do problemu 1 i wnioski z przeprowadzonych symulacji:

Odpowiedź: Dla 300 osob około 38 osób uzyska 20 orłów w 40 rzutach (jest to środkowy, najwyższy słupek na rys.2) co daje częstośc 38/300, czyli około 0,125. Jest więc ona dużo mniejsza od 1/2 i oznacza, że na 1000 osób tylko około 125 osób uzyska 20 orłów w 40 rzutach monetą.

Wniosek 1. Częstości uzyskania innej liczby niż 20 orłów są mniejsze od 0,125 i są rozłożone symetrycznie względem tej wartości, np. częstość uzyskania 19 orłów jest prawie taka sama jak częstość uzyskania 21 orłów, itd.

Wniosek 2. Częstości uzyskania 0, 1, 2, 3, 4, 5 orłów oraz uzyskania 35, 36, 37, 38, 39, 40 orłów są tak małe, że nie są widoczne na wykresie. Oznacza to praktycznie, że nie powinno się zdarzyć, aby na 40 rzutów uzyskać, np. 40 czy 39 orłów lub 0 czy 1 orła.

Wniosek 3. Suma wszystkich częstości wynosi 1. Aby się o tym przekonać należy odczytać z wykresu poszczególne częstości i zsumować je.

10.Problem 2. W jaki sposób można obliczyć teoretycznie odpowiedniki częstości, czyli prawdopodobieństwa, otrzymywania k orłów w n rzutach monetą, gdzie k=0,1,2,...,n?

Rozwiązanie:

Obliczymy najpierw prawdopodobieństwo otrzymania 2 orłów w 4 rzutach monetą.

Sposób I. Zbiór zdarzeń elementarnych W={(O,O,O,O),(O,O,O,R),(O,O,R,O),(O,R,O,O),

(R,O,O,O),(O,O,R,R),(O,R,R,O),(R,R,O,O), (O,R,O,R),(R,O,R,O),

(R,O,O,R),(O,R,R,R),(R,O,R,R),(R,R,O,R),(R,R,R,O),(R,R,R,R)}.

Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 16. Podkreślone zdarzenia to te, ktore zawierają po 2 orły i jest ich 6. Zatem szukane prawdopodobieństwo P = .

Sposób II. Każde zdarzenie elementarne jest ciągiem 4-wyrazowym. Zdarzeń elementarnych w których występują 2 orły jest tyle, na ile sposobów można wybrać 2 miejsca w ciągu 4-wyrazowym, aby umieścić tam 2 orły, czyli tyle, ile kombinacji 2-elementowych ze zbioru 4-elementowego. Zatem ilość zdarzeń sprzyjających naszemu zdarzeniu wynosi =6. Każdy z tych sześciu ciągów zawiera 2 orły na dwóch miejscach, na pozostałych miejscach są reszki, więc prawdopodobieństwo każdego z tych sześciu zdarzeń wynosi . Zatem szukane prawdopodobieństwo P =

Analogicznie można obliczać dowolne prawdopodobieństwo, np. prawdopodobieństwo uzyskania 20 orłów w 40 rzutach monetą.

Otrzymujemy P ==0.125. Wynik ten potwierdza wynik symulacji dla 300 uczniów uzyskany przy pomocy symulacji na desce Galtona.

11.Uogólnienie wzoru na prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach Bernoulli’ego do postaci:

12.Rozwiązywanie różnych zadań na schemat Bernoulli’ego.

Zad.1. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania 3 szóstek w 3 rzutach kostką.

Zad.2. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie 500 orłów w 1000 rzutów monetą, czy uzyskanie 500000 orłów w 1000000 rzutów monetą?

13.Omówienie rozkładu dwumianowego P_n(k).

Problem 3. Jak rozkładają się prawdopodobieństwa w schemacie Bernoulli’ego wraz ze wzrostem ilości prób n?

Do rozwiązania problemu należy wykorzystywać program Schemat_Bernoulli’ego_ teoria; który oblicza prawdopodobieństwa uzyskania k orłów w n rzutach monetą ze wzoru oraz rysuje wykres tych prawdopodobieństw.

Program Schemat_Bernoulli’ego_teoria; {Turbo Pascal}

{$N+} uses graph; const g=1/4; n=1500;

var karta,tryb,k,i,xs:integer;

x,dwa_do_n,silnia_n:extended; pS,nS:string;

function silnia (s: integer): extended;

begin x:=1; for i:=1 to s do x:=x*i; silnia:=x; end;

function n_po_k(n,k:integer):extended;

begin n_po_k:=silnia_n/silnia(k)/silnia(n-k);end;

begin karta:=detect; initGraph(karta,tryb,'');

randomize; setColor(darkGray); xs:=round(g*n/2+320);

for k:=0 to 12 do

begin str(0.01*k:1:2,pS); outTextXY(600-xs,448-k*25,pS);

line(600-xs,460-k*25,xs+20,460-k*25);

end; setColor(white);

line(635-xs,479,635-xs,140); line(600-xs,460,xs+20,460);

outTextXY(637-xs,465,'0');

str(n div 2,nS); outTextXY(312,465,nS);

str(n,nS); outTextXY(xs-5,465,nS);

dwa_do_n:=exp(n*ln(2)); silnia_n:=silnia(n);

for k:=0 to n do

line(round(g*k-g*n/2+320),459,round(g*k-g*n/2+320),

459-2*round(1250*n_po_k(n,k)/dwa_do_n));

readLn; closeGraph;

end.

program Schemat_Bernouliego_teoria; {Think Pascal}

const n = 500; g = 1;

var k: integer; p, dwa_do_n, silnia_n: extended;

function silnia (s: integer): extended;

var i: integer; x: extended;

begin x := 1; for i := 1 to s do x := x * i;silnia := x; end;

function n_po_k (n, k: integer): extended;

begin n_po_k := silnia_n / silnia(k) / silnia(n - k); end;

begin

showDrawing; randSeed := tickCount;

for k := 0 to 12 do

begin

drawLine(280-g*n div 2,400-k*25,340+g*n div 2,400-k*25);

end;

drawLine(315 - g * n div 2, 419, 315 - g * n div 2, 40);

drawLine(280 - g * n div 2, 400, 340 + g * n div 2, 400);

dwa_do_n := exp(n * ln(2)); silnia_n := silnia(n);

for k := 0 to n do

begin

p := n_po_k(n, k) / dwa_do_n;

drawLine(g*k-g*n div 2+320,398,

g*k-g*n div 2+320,398-2*round(1250*p));

end;

end.

Rys.3. Rozkłady prawdopodobieństw w schemacie Bernoulli’ego dla 100, 500, 1000 i 1500 rzutów monetą.

Wnioski:

1.Wykresy prawdopodobieństw na kolejnych rysunkach są coraz niższe. Oznacza to, że im więcej razy rzucilibyśmy monetą, tym częstość uzyskania danej liczby orłów byłaby coraz mniejsza, np. częstość uzyskania 500 orłów w 1000 rzutach byłaby dużo mniejsza niż częstość uzyskania 50 orłów w 100 rzutach.

2.Wykresy prawdopodobieństw są skupione wokół środka przedziału i wraz ze wzrostem ilości rzutów podstawy wykresów są, w stosunku do całego przedziału, coraz mniejsze. Np. dla 100 rzutów, podstawa wykresu zajmuje 30% całego przedziału, dla 500 rzutów zajmuje 15%, dla 1000 rzutów zajmuje 10%, a dla 1500 rzutów tylko około 8% całego przedziału. Oznacza to, że im więcej razy rzucilibyśmy monetą tym bardziej liczba uzyskanych orłów, w stosunku do ilości wszystkich rzutów, będzie bliższa liczby . Można to wyrazić prostym zdaniem: częstość dąży do . Stwierdzenie to jest prawem wielkich liczb Bernoulli’ego i wyraża głęboką myśl matematyczną, mianowicie, że w zjawiskach losowych, przy bardzo dużej liczbie prób, otrzymamy taką ilość sukcesów k , że częstość jest praktycznie równa prawdopodobieństwu sukcesu w pojedyńczej próbie. Nie oznacza to jednak, że ilość orłów dąży do połowy rzutów, jak często błędnie wnioskują uczniowie.

14.Porównanie rozkładu dwumianowego Bernoulliego z rozkładem normalnym Gaussa.

Rozkłady prawdopodobieństw przedstawione na rys.2 i rys.3, nazywane rozkładami dwumianowymi, są rozkładami skokowymi i oznaczają prawdopodobieństwa k sukcesów w n próbach Bernoulliego.

Rozkład prawdopodobieństw w wielu badanych zjawiskach przybiera postać krzywej przedstawionej na rys. 4.

Rys.4. Krzywa rozkładu prawdopodobieństw, które otrzymujemy w wielu badanych zjawiskach.

Krzywa ta nazywa się krzywą normalną Gaussa i opisuje ją funkcja , gdzie i są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Krzywa Gaussa nazywa się inaczej krzywą normalną błędów, ponieważ bardzo dobrze opisuje rozkład rozbieżności pomiędzy powtarzanymi pomiarami wielkości fizycznych.

Rozkład normalny ma duży związek z rozkładem dwumianowym. Przedstawia to rys.5, na którym na wykres rozkładu dwumianowego z rys.2 nałożono krzywą Gaussa z rys 4. Krzywa ta tym lepiej przybliża rozkład dwumianowy im bardziej ilość prób dąży do nieskończoności.

Rys.5. Krzywa normalna Gaussa przybliża rozkład dwumianowy Bernoulliego.