Temat 7: Wykresy nierówności z 2 niewiadomymi. (liceum)              wyk-nier.doc – 89 kB

 

Celem lekcji jest zapoznanie ze sposobem wykonywania wykresów nierówności z 2 niewiadomymi. Ubocznym celem jest ukazanie bogactwa i piękna tkwiącego we wzorach matematycznych.

 

Przebieg lekcji:

 

1.Wprowadzenie pojęcia rozwiązania nierówności z 2 niewiadomymi.

 

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór par liczb (x,y) spełniających tę nierówność. Graficznie jest to zbiór punktów płaszczyzny których współrzędne x i y spełniają nierówność, np. nierówność x-y>0  spełniają punkty półpłaszczyzny poniżej prostej

 y = x - (rys.1).

 

2.Wykonywanie wykresów nierówności przy pomocy poniższego programu źródłowego lub przy pomocy gotowego programu „obrazy.exe”.

 

program Wykresy_nierownosci;   {Turbo Pascal}

uses graph; var karta,tryb,n,j:integer; x,y,z:real;

begin

  karta:=detect; initgraph(karta,tryb,'');

  j:=30; setColor(darkGray); rectangle(0,0,639,479);

  for n:=-320 div j to 320 div j do

       line(320+n*j,0,320+n*j,479);

  for n:=-240 div j to 240 div j do

       line(0,240+n*j,639,240+n*j);

  setcolor(white);

  line(0,240,639,240); line(320,0,320,479);

  x:=-320/j;

  repeat

    y:=-240/j; x:=x+2/j;

    repeat

      y:=y+2/j; z:=x-y;

      if z>0 then

   putpixel(round(x*j)+320,round(240-y*j),round(5*z));

    until y>240/j;

  until x>320/j;

  readln;

  closegraph;

end.

program Wykresy_nierownosci;  {Think Pascal}

var n: integer;

             x, y: real;

begin

 for n:=1 to 30 do

       drawLine(n*20,0,n*20,400);

 for n:=1 to 20 do

      drawLine(0,n*20,600,n*20);

   penSize(2, 2);

drawLine(0, 200, 600, 200);

drawLine(300, 0, 300, 400);

x := -15;

repeat

   y := -10;

   x := x + 1 / 10;

   repeat

      y := y + 1 / 10;

     if x - y > 0 then

     paintCircle(round(x * 20 + 300),

                            round(200 - y * 20), 1);

     until y > 10;

   until x > 15;

end.

 

3.Rozdanie uczniom plansz z wykresami 15-tu nierówności z 2 niewiadomymi i sformułowanie zadania.

            Zad.1.

            Podaj wzory nierówności, których wykresy przedstawiono na rysunkach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 na następnej stronie.

 

4.Praca uczniów z powyższym programem ”Wykresy nierówności” lub z programem „Obrazy.exe” nad poszukiwaniem wzorów nierówności.


 


5.Omówienie algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x+y)>0 - rys.2.

 

              sin(x-y)>0    <=>    2kp<x-y<p+2kp    <=>    x-2kp>y>x-p-2kp

 

            Dla k=0 otrzymujemy: x>y>x-p, są to punkty leżące w pasie stykającym się z punktem (0,0). Pozostałe pasy otrzymujemy dla k= -1,1,-2,2,...itd.

 

6.Omówienie algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x)+sin(y)>0 - rys.3.

 

            sin(x)-sin(y)>0    <=>    2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)>0    <=>   

 

            <=>      

 

            Każdą nierówność w tych układach nierówności rozwiązujemy podobnie jak nierówność sin(x-y)>0 i bierzemy wspólną część tych rozwiązań. Rozwiązaniem całej nierówności jest suma rozwiązań obu układów.

 

7.Omówienie algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x*y)>0 - rys.5.

 

              sin(x*y)>0    <=>    2kp<x*y<p+2kp    <=>   

            1o.        x>0 => 2kp/x <y<(p+2kp)/x             2o.        x<0 => 2kp/x >y>(p+2kp)/x

 

            Dla k=0 otrzymujemy: 0<y<p/x, są to punkty leżące pomiędzy hiperbolą y = p/x a osiami OX i OY. Dla  innych k otrzymujemy odpowiednie obszary pomiędzy kolejnymi hiperbolami.

 

8.Omówienie algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x)*sin(y)>0 - rys.6.

 

                                     sin(x)*sin(y)>0    <=>

 

            <=>          <=>

 

            <=>      

 

            Rozwiązanie otrzymujemy wykreślając wspólne części pionowych i poziomych pasów dla poszczególnych k Î C.

 

9.Omówienie algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x2-y2)>0 - rys.8.

 

              sin(x2-y2)>0    <=>    2kp<x2-y2<p+2kp    <=>    x2-2kp>y2>x2-p-2kp

 

            Dla k=0 otrzymujemy: x2>y2>x2-p, są to punkty leżące pomiędzy prostymi y = x

i  y = -x a odpowienimi funkcjami kwadratowymi. Pozostałe obszary otrzymujemy dla k= -1,1,-2,2,...itd.