Temat 7: Wykresy nierówności z 2
niewiadomymi. (liceum)
wyk-nier.doc – 89 kB
Celem lekcji jest zapoznanie ze sposobem
wykonywania wykresów nierówności z 2 niewiadomymi. Ubocznym celem jest ukazanie
bogactwa i piękna tkwiącego we wzorach matematycznych.
Przebieg lekcji:
1.Wprowadzenie
pojęcia rozwiązania nierówności z 2 niewiadomymi.
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór
par liczb (x,y) spełniających tę nierówność. Graficznie jest to zbiór punktów
płaszczyzny których współrzędne x i y spełniają nierówność, np. nierówność
x-y>0 spełniają punkty półpłaszczyzny
poniżej prostej
y = x - (rys.1).
2.Wykonywanie
wykresów nierówności przy pomocy poniższego programu źródłowego lub przy pomocy
gotowego programu „obrazy.exe”.
program
Wykresy_nierownosci; {Turbo Pascal} uses
graph; var karta,tryb,n,j:integer; x,y,z:real; begin karta:=detect;
initgraph(karta,tryb,''); j:=30;
setColor(darkGray); rectangle(0,0,639,479); for n:=-320 div j to 320 div j do line(320+n*j,0,320+n*j,479); for n:=-240 div j to 240 div j do line(0,240+n*j,639,240+n*j); setcolor(white); line(0,240,639,240); line(320,0,320,479); x:=-320/j; repeat y:=-240/j; x:=x+2/j; repeat y:=y+2/j; z:=x-y; if
z>0 then putpixel(round(x*j)+320,round(240-y*j),round(5*z)); until y>240/j; until x>320/j; readln; closegraph; end. |
program
Wykresy_nierownosci; {Think Pascal} var
n: integer;
x,
y: real; begin for n:=1 to 30 do drawLine(n*20,0,n*20,400); for n:=1 to 20 do drawLine(0,n*20,600,n*20); penSize(2, 2); drawLine(0,
200, 600, 200); drawLine(300,
0, 300, 400); x
:= -15; repeat y := -10; x := x + 1 / 10; repeat y := y + 1 / 10; if x - y > 0 then paintCircle(round(x * 20 + 300),
round(200 - y * 20), 1); until y > 10; until x > 15; end. |
3.Rozdanie uczniom plansz z wykresami
15-tu nierówności z 2 niewiadomymi i sformułowanie zadania.
Zad.1.
Podaj wzory nierówności, których wykresy
przedstawiono na rysunkach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 na następnej
stronie.
4.Praca
uczniów z powyższym programem ”Wykresy nierówności” lub z programem „Obrazy.exe” nad poszukiwaniem wzorów
nierówności.
5.Omówienie
algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x+y)>0 - rys.2.
sin(x-y)>0 <=> 2kp<x-y<p+2kp
<=> x-2kp>y>x-p-2kp
Dla k=0 otrzymujemy: x>y>x-p, są to punkty leżące w pasie
stykającym się z punktem (0,0). Pozostałe pasy otrzymujemy dla k= -1,1,-2,2,...itd.
6.Omówienie
algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x)+sin(y)>0 - rys.3.
sin(x)-sin(y)>0 <=> 2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)>0 <=>
<=>
Każdą nierówność w tych układach nierówności rozwiązujemy podobnie jak
nierówność sin(x-y)>0 i bierzemy wspólną część tych rozwiązań. Rozwiązaniem
całej nierówności jest suma rozwiązań obu układów.
7.Omówienie
algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x*y)>0 - rys.5.
sin(x*y)>0 <=> 2kp<x*y<p+2kp
<=>
1o. x>0
=> 2kp/x <y<(p+2kp)/x
2o.
x<0 => 2kp/x >y>(p+2kp)/x
Dla k=0 otrzymujemy: 0<y<p/x, są to punkty leżące pomiędzy
hiperbolą y = p/x a osiami OX i OY. Dla innych k otrzymujemy odpowiednie obszary pomiędzy
kolejnymi hiperbolami.
8.Omówienie
algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x)*sin(y)>0 - rys.6.
sin(x)*sin(y)>0 <=>
<=> <=>
<=>
Rozwiązanie otrzymujemy wykreślając wspólne części pionowych i poziomych
pasów dla poszczególnych k Î C.
9.Omówienie
algebraicznego sposobu rozwiązania nierówności sin(x2-y2)>0 -
rys.8.
sin(x2-y2)>0 <=> 2kp<x2-y2<p+2kp
<=> x2-2kp>y2>x2-p-2kp
Dla k=0 otrzymujemy: x2>y2>x2-p, są to punkty leżące pomiędzy
prostymi y = x
i y = -x a odpowienimi funkcjami kwadratowymi.
Pozostałe obszary otrzymujemy dla k= -1,1,-2,2,...itd.