Złota liczba

Złotą liczbą nazywamy liczbę = . Ma ona piękne (piękne = złote) i bardzo ciekawe własności. Liczba ta pojawia się w wielu zagadnieniach, problemach i sytuacjach, zarówno matematycznych jak i z życia codziennego. Na lekcji zapoznasz się z tymi zagadnieniami  i mamy nadzieję, że spodoba Ci się ta liczba i że w Twoich oczach również zasłuży na miano "złotej liczby".


Złota wartć

to wartość niewymierna.
Jakie jest jej przybliżenie dziesiętne?

Jeśli masz zwykły kalkulator otrzymasz wartość 1,61803398.
Za pomocą kalkulatora naukowego możesz otrzymać 1,6180339887.
Za pomocą arkusza kalkulacyjnego otrzymasz 1,61803398874989 - sprawdź to w swoim arkuszu.
Jeśli masz kompilator języka Pascal, uruchom następujący programik (możesz skorzystać z gotowego pliku "Zlota-li.pas" znajdującego się w katalogu "Programy-PASCAL". Jeśli używasz innego języka programowania, wystarczy drobna przeróbka kodu "pascalowego"):

program Zlota_liczba;
{$N+}
var x:extended;
begin
  write((sqrt(5)+1)/2:1:18); 
  readLn;
end.

W wyniku działania tego programu otrzymasz wartość złotej liczby równą: 1,618033988749894850.

Bardzo dobre przybliżenie uzyskasz za pomocą kalkulatora systemowego Windows: 1,61803398874989484820458683436564.
Jeszcze lepsze dokładności, sięgające tysięcy cyfr po przecinku, można uzyskać, korzystając ze specjalistycznych programów.


Złota konstrukcja

Obejrzyj konstrukcję odcinka o długości =


Zadanie 1.

Wykonaj, podobną do powyższej, konstrukcję odcinka złotej długości za pomocą programu Cabri (możesz skorzystać z gotowego pliku "zlota-li.fig" umieszczonego w katalogu "Figury-CABRI" - po wczytaniu go do programu Cabri zastosuj opcję Edit - Replay Constraction i obejrzyj konstrukcję krok po kroku. Program Cabri dla systemu Windows możesz pobrać ze strony http://education.ti.com/product/software/cabri/down/cabriwin.html , zaś dla systemu Macintosh ze strony http://education.ti.com/product/software/cabri/down/cabrimac.html ).


Obejrzyj konstrukcję złotego prostokąta i zobacz, że jego wymiary są proporcjonalne do wymiarów starożytnego Partenonu.

W złotym prostokącie stosunek dłuższego boku do krótszego wynosi .

Zadanie 2.
Wykonaj podobną do powyższej konstrukcję złotego prostokąta za pomocą programu Cabri (gotowy  plik "zloty-pr.fig" w katalogu "Figury-CABRI").


Złoty podział  odcinka

Obejrzyj podział odcinka na dwa odcinki, których stosunek jest złotą liczbą = .


Złote cięcie

Po odcięciu od otego prostokąta kwadratu, pozostaje oty prostokąt.

Zadanie 3.
Wyjaśnij, dlaczego krótszy bok małego prostokąta ma długość .

Rozwiązanie.

Zadanie 4.
Wykaż, że stosunek dłuższego boku małego prostokąta do jego krótszego boku, jest złotą liczbą.

Rozwiązanie.


Złota odwrotność

Odwrotnością złotej liczby jest liczba:

 

Zadanie 5.
Pokaż, że odwrotność złotej liczby jest mniejsza od złotej liczby, dokładnie o 1?

Rozwiązanie.
fi-1dziel-fi.gif (1115 bytes).
Zatem  1-fi.gif (901 bytes) = 0,6180339887498948.


Złote wnanie

Istnieje piękne i proste równanie o współczynnikach całkowitych równych 1, którego rozwiązaniem jest złota liczba. Jest to równanie: x2 - x - 1 = 0. Można je rozwiązać za pomocą wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Jeżeli jednak nie znasz jeszcze tego sposobu, sprawdź, że złota spełnia to równanie.

Zadanie 6.
Sprawdź, za pomocą komputera lub tradycyjnym sposobem, że złota liczba spełnia równanie x2 - x - 1 = 0.

Rozwiązanie.
1 sposób - za pomocą prostego programiku w Pascalu:

program Zlote_rownanie_sprawdzenie;
{$N+}
var  x:extended;
begin
  x:=(sqrt(5)+1)/2;
  write(x*x-x-1:1:18);
  readLn;
end.

W wyniku działania tego programu otrzymujemy 0.000000000000000000, czyli złota liczba jest rozwiązaniem tego równania.

2 sposób - za pomocą arkusza kalkulacyjnego:

ark-spr-zl-row.gif (5102 bytes)
W komórce B1 widać, że wartość wyrażenia wynosi 0.

3 sposób - tradycyjne obliczenia:

zlote-rownanie.gif (2015 bytes).

Zadanie 7.
Z której własności złotej liczby wynika złote równanie: x2 - x - 1 = 0?

Rozwiązanie.
Z własności o odwrotności. Złota liczba jest o 1 mniejsza od swojej odwrotności, więc fi-czarne.gif (861 bytes) - 1 =  1-fi.gif (901 bytes),
a stąd fi-czarne.gif (861 bytes)2 - fi-czarne.gif (861 bytes) - 1 = 0.


Złoty wielokąt

W pięciokącie foremnym stosunek przekątnej do boku jest złotą liczbą.

Zadanie 8.
Uzasadnij, podaną wyżej własność pięciokąta foremnego.
Wskazówka: w pięciokącie foremnym odpowiednie trójkąty równoramienne są podobne (dlaczego?).

Rozwiązanie.
5-kat-foremny1.gif (3632 bytes)
stosunek-d-a.gif (1470 bytes)
Jest to złote równanie, którego rozwiązaniem jest złota liczba. Zatem stosunek przekątnej pięciokąta foremnego do jego boku jest złotą liczbą.


Złoty ciąg

1, 1, 2, 3, 5, 8 - to początkowe wyrazy złotego ciągu (ciąg Fibbonacciego). Widać, że każdy wyraz tego ciągu jest sumą dwóch poprzednich (oczywiście oprócz dwóch pierwszych). Dlaczego ten ciąg jest złoty, dowiesz się za chwilę, ale najpierw musisz obliczyć więcej jego wyrazów.

Zadanie 9.
Oblicz kilkadziesiąt wyrazów złotego ciągu.

Rozwiązanie.

1 sposób - za pomocą programu w Pascalu:

program Zloty_ciag;
{$N+}
uses crt;
var  a1,a2,a,n:longInt;
begin
  clrScr; a1:=1; a2:=1;
  for n:=1 to 24 do
      begin
        a:=a1+a2;
        write(a,', ');
        a1:=a2; a2:=a;
      end;
  readLn;
end.

W wyniku działania tego programu otrzymujemy następujące wyrazy złotego ciągu:
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,
4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393

2 sposób - za pomocą arkusza kalkulacyjnego:

ark-zloty-ciag.gif (6912 bytes) - otrzymujemy te same wyrazy co powyżej.

Dlaczego ten ciąg jest złoty?

Dzieląc kolejne jego wyrazy przez wyrazy poprzedzające, otrzymujemy coraz dokładniejszą wartość złotej liczby:

1 / 1 = 1.000000000000000000
2 / 1 = 2.000000000000000000
3 / 2 = 1.500000000000000000
5 / 3 = 1.666666666666666670
8 / 5 = 1.600000000000000000
13 / 8 = 1.625000000000000000
21 / 13 = 1.615384615384615380
34 / 21 = 1.619047619047619050

Zadanie 10.
Oblicz kilkadziesiąt kolejnych ilorazów złotego ciągu i sprawdź, z jaką dokładnością otrzymałeś złotą liczbę.

Rozwiązanie.

1 sposób - za pomocą programu w Pascalu:

program Zlote_ilorazy;
{$N+}
uses crt;
var  a1,a2,a,n:longInt;
begin
  clrScr; a1:=1; a2:=1;
  for n:=1 to 24 do
      begin
        a:=a1+a2;
        writeLn(a,' / ',a2,' = ',a/a2:1:18);
        a1:=a2; a2:=a;
      end;
  readLn;
end.

W wyniku działania tego programu otrzymujemy:

2 / 1 = 2.000000000000000000
3 / 2 = 1.500000000000000000
5 / 3 = 1.666666666666666670
8 / 5 = 1.600000000000000000 - ułamek 8 / 5 = 1.6 jest dość dobrym przybliżeniem złotej liczby.
13 / 8 = 1.625000000000000000
21 / 13 = 1.615384615384615380
34 / 21 = 1.619047619047619050
55 / 34 = 1.617647058823529410
89 / 55 = 1.618181818181818180
144 / 89 = 1.617977528089887640
233 / 144 = 1.618055555555555560 - ułamek 233 / 144 jest dobrym przybliżeniem złotej liczby.
377 / 233 = 1.618025751072961370
610 / 377 = 1.618037135278514590
987 / 610 = 1.618032786885245900
1597 / 987 = 1.618034447821681860
2584 / 1597 = 1.618033813400125230
4181 / 2584 = 1.618034055727554180
6765 / 4181 = 1.618033963166706530
10946 / 6765 = 1.618033998521803400
17711 / 10946 = 1.618033985017357940
28657 / 17711 = 1.618033990175597090
46368 / 28657 = 1.618033988205325050
75025 / 46368 = 1.618033988957902000
121393 / 75025 = 1.618033988670443190 - dokładność 10-9.

2 sposób - za pomocą arkusza kalkulacyjnego:

ark-zlote-il.gif (17448 bytes)
Dokładność w ostatnim wierszu arkusza: 10-9.


Złoty amek

Ułamek piętrowy (łańcuchowy), złożony z samych jedynek jest równy złotej liczbie. Poniżej podano jego wartość dla 15 pięter. Obliczenia są łatwe jeśli zauważysz, że  kolejne wartości licznika i mianownika otrzymywanych ułamków, to wyrazy złotego ciągu.


= 1597 / 987 w-przyblizeniu.gif (845 bytes) 1,618034447821681864

Zadanie 11.
Oblicz za pomocą komputera wartość ułamka łańcuchowego złożonego z samych jedynek.

Rozwiązanie.
Jest to ten sam program i ten sam arkusz co w poprzednim zadaniu. Program "Zl-li-ul.pas" w katalogu "Programy-PASCAL", oprócz obliczeń, rysuje także piętrowy ułamek. Sprawdź to!


Złote potęgi

Każda potęga złotej liczby jest jej kombinacją, tzn. można ją zapisać w postaci a.fi1.gif (861 bytes)+b, gdzie a, b to liczby całkowite, będące kolejnymi wyrazami złotego ciągu.

fi1.gif (861 bytes)1 = fi-do1.gif (1353 bytes)
fi1.gif (861 bytes)2 = fi-do2.gif (1577 bytes)
fi1.gif (861 bytes)3 = fi-do3.gif (1723 bytes).

Zadanie 12.
Pokaż, że
fi1.gif (861 bytes)4 = 3.fi1.gif (861 bytes)+2.

Rozwiązanie.
fi1.gif (861 bytes)4 =fi-do4.gif (2086 bytes)


Złote proporcje

Rysunek Leonarda da Vinci przedstawia złote proporcje ludzkiego ciała.

rys-Leonarda-da-Vinci

Zadanie 13.

Znajdź, na podstawie rysunku Leonarda da Vinci, złote proporcje ludzkiego ciała.

 

Rozwiązanie.

rys-Leonarda-da-Vinci

Leonardo da Vinci zauważył, że ciało człowieka zbudowanego proporcjonalnie jest wpisane w kwadrat i w koło. Taki kwadrat i koło wyznaczają prostokąt ABCD, który dla człowieka o prawidłowych proporcjach jest złoty, czyli wysokość człowieka do długości dolnej części ciała (od pępka w dół) jest złotą liczbą (stosunek długości dolnej części ciała do górnej jest również złotą liczbą).

Zadanie 14.
Sprawdź czy jesteś Złota/Złoty.
(Dokonaj odpowiednich pomiarów swojego ciała, oblicz odpowiednie proporcje i porównaj je ze złotą liczbą.)