 |
|
Symbol |
Zadanie 1. (8 p.)
| (Do poleceń z podpunktów a), b) i c) należy wybrać odpowiedni rysunek, zaznaczając polu wyboru poniżej układu współrzędnych.) | |
| a) Zmień położenie
czerwonego i niebieskiego punktu tak, aby otrzymać koło o następujących parametrach: - środek koła znajduje się w punkcie O = (0, 0); - promień koła jest liczbą całkowitą mniejszą niż 8; - do obwodu koła należy przynajmniej jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowite i różne od zera. |
|
b) Przekształć niebieskie koło tak, aby otrzymać
koło o równaniu x2 + y2 - 2x + 1
- a  0, mające dokładnie jeden punkt wspólny z obwodem brązowego
koła. (Uwaga: Zadanie ma dwa rozwiązania. Na rysunku przedstaw jedno z nich, natomiast w
okienkach dotyczących tego podpunktu podaj obie wartości parametru a.) |
|
| c) Przekształć zielone koło tak, aby otrzymać koło o środku w punkcie (0, 0), którego pole jest 5 razy mniejsze od pola brązowego koła oraz napisz jego równanie. | |
| d) Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg x2 + y2 = 25. |
Zadanie 2. (6 p.)
| Studentowi pozostało 3 lata do ukończenia studiów i na ten okres wziął kredyt studencki w wysokości 24 000 zł. Oprocentowanie kredytu wynosi 5,85% w skali roku, ale za dobre wyniki w nauce obniżono studentowi oprocentowanie do 4%. Student będzie otrzymywał co pół roku transze kredytu w wysokości 4 000 zł i na bieżąco musi co miesiąc spłacać tylko odsetki od tego kredytu. Student postanowił, że po ukończeniu studiów spłaci kredyt w ciągu 2 lat, w miesięcznych ratach malejących (za ten okres musi, oprócz rat kapitałowych, spłacać również odsetki od aktualnego zadłużenia). |
| a) Ile wyniesie suma odsetek spłaconych przez studenta w czasie studiów? |
| b) Jaka będzie wysokość dwóch pierwszych rat spłacanych po ukończeniu studiów? |
| c) Ile wyniesie łączna suma odsetek za ten kredyt? |
Zadanie 3. (6 p.)
| Rozpatrujemy funkcję kwadratową postaci f(x) = ax2 + bx + c. |
|
| a) Zmień na rysunku
położenie czerwonego i zielonego punktu tak, aby otrzymać wykres funkcji spełniającej
następujące warunki: - suma miejsc zerowych wynosi 6, - wartość funkcji w punkcie 0 wynosi 5, - najmniejsza wartość funkcji wynosi - 4. |
|
| b) Podaj wzór funkcji f(x). | |
| c) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x0 = 1. |
Zadanie 4. (6 p.)
Rysunek przedstawia pięć początkowych wyrazów ciągu an. Wzór rekurencyjny ciągu ma postać: a1 = 1, an = an - 1 + n. Ze wzoru otrzymujemy następujące wartości wyrazów ciągu: a1 = 1; a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3; a3 = a2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6; a4 = a3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10; a5 = a4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, itd. |
|
| a) Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu an. | |
| b) Poniższy rysunek przedstawia ciąg bn
o wyrazach: 1, 6, 15, 28, itd. Podaj wzór rekurencyjny ciągu bn. |
|
 |
|
| c) Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu bn. | |
Zadanie 5. (8 p.)
Dana jest funkcja f(x) =  . Uwaga: Wykres na rysunku obok nie jest
wykresem tej funkcji, wykorzystasz go do rozwiązania podpunktu d). |
|
| a) Określ dziedzinę funkcji f(x). | |
| b) Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x). | |
| c) Wyznacz ekstrema funkcji f(x). | |
| d) Sporządź wykres funkcji f(x). |
Zadanie 6. (6 p.)
| Rysunek przedstawia wykresy funkcji: f(x) = x2 i g(x) = alog2(x + 2) + 1. Punkty A i B, w których przecinają się wykresy tych funkcji, mają współrzędne całkowite. |  |
| a) Wyznacz współczynnik a funkcji g(x). | |
| b) Oblicz miejsce zerowe funkcji g(x). | |
| c) Wyznacz funkcję wykładniczą, symetryczną do funkcji g(x) względem prostej AB. Wzór funkcji przedstaw w postaci y = m.2x + k i w odpowiedzi podaj wartości m i k. |
|
Zadanie 7. (8 p.)
| Dany jest sześcian o krawędzi a, którego przekątne ścian są
krawędziami czworościanu foremnego. Czy prawdziwe są następujące zdania? |
 |
| a) Objętość sześcianu jest 3 razy większa od objętości czworościanu. |
b) Stosunek powierzchni sześcianu do powierzchni
czworościanu wynosi  . |
| c) Objętość kuli wpisanej w sześcian jest równa objętości kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu. |
| d) Kąty dwuścienne pomiędzy ścianami sześcianu a ścianami czworościanu wynoszą 45°. |
Zadanie 8. (8 p.)
| Na rysunku poniżej dany jest wykres funkcji y = sin x. |
a) Sporządź wykres funkcji f(x)
= 1 - 2sin(2x +  ). |
| b) Wyznacz okres funkcji f(x). |
| c) Wyznacz najmniejsze, dodatnie miejsce zerowe funkcji f(x). |
| d) Podaj przedział zawarty w (0, ), w którym zachodzi
nierówność f(x) < 1. |
Zadanie 9. (8 p.)
Rozpatrujemy schemat Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu
w pojedynczej próbie wynosi  . |
|
| a) Uruchom symulację dla n = 5 prób i odczytaj częstość uzyskania co najmniej 3 sukcesów. | |
| b) Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania w pięciu próbach co najmniej 3 sukcesów. | |
| c) Czy łatwiej jest uzyskać 5 sukcesów, wykonując 10 prób, czy 8 sukcesów, wykonując 16 prób? (W odpowiedzi podaj 5 lub 8.) | |
| d) Wyznacz najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów dla 17 prób. |
Zadanie 10. (8 p.)
Na zakończenie roku szkolnego obliczono średnią ocen
uczniów pewnej 36-osobowej klasy. Otrzymane wyniki przedstawia tabela:
|
|||||||||||
a) Sporządź diagram na podstawie tych danych. |
|||||||||||
| b) Wyznacz medianę. | |||||||||||
| c) Oblicz średnią arytmetyczną. | |||||||||||
| d) Oblicz odchylenie standardowe. |
Podsumowanie sprawdzianu
Zobacz również:Programy w Pascalu
, pojawiający się w niektórych zadaniach,
oznacza pomoc.
oznacza pomoc techniczną.
Za skorzystanie z tej pomocy nie tracisz punktu.