Program Ifs2000.exe

Opis programu "IFS"

Program "IFS" służy do iteracyjnego składania przekształceń afinicznych metodą probabilistyczną, czyli do otrzymywania obrazów figur w tych przekształceniach. Skrót "IFS" oraz teoretyczna, matematyczna podbudowa programu zaczerpnięte są z prac:

Jacek Kudrewicz - "Fraktale i chaos" WNT 1993

Ian Stewart - "Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu" PWN 1995

H.-O.Peitgen, H.Jürgens, D.Soupe - "Granice chaosu. Fraktale" PWN 1995

Metoda IFS, czyli iteracyjne składanie przekształceń polega na znajdowaniu obrazów punktu startowego w jednym lub większej ilości przekształceń afinicznych a następnie znajdowanie obrazów tych obrazów, itd. itd. Wymaga to pamiętania olbrzymiej ilości punktów, więc w programie zastosowano prostszą metodę probabilistyczną. Polega ona na przekształcaniu punktu startowego przez losowo wybrane przekształcenie, następnie jego obraz przekształcamy znów przez losowo wybrane przekształcenie, itd. W w/w pracach udowodniono, że otrzymany tą metodą obraz jest zbieżny do obrazu otrzymanego metodą iteracyjną.

Program 'IFS.EXE' po uruchomieniu zgłasza się planszą tytułową. Aby przejść dalej należy nacisnąć lewy klawisz myszy.

Program rozpoczyna pracę od automatycznego wczytania z tablic pierwszego przykładowego rysunku. Można obejrzeć 16 gotowych rysunków przyciskając kolejno myszką napis "PRZYKŁAD". Obok napisu pojawiają się numery aktualnych rysunków.

Program posiada 9 opcji, które można wybierać myszką z prawej strony ekranu.

NOWE PRZEKSZTAŁCENIE

Opcja ta pozwala wczytać nowe wartości współczynników przekształceń afinicznych.

ILOŚĆ PRZEKSZTAŁCEŃ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Naciskając myszką jedną z liczb od 1 do 10 wybieramy żądaną ilość przekształceń afinicznych które będą składane z sobą.

Równoległobok TAK / NIE

Naciskając myszką napis TAK wywołujemy rysunek kwadratu jednostkowego (szary, duży kwadrat) oraz rysunek równoległoboku, który jest jego obrazem w danym przekształceniu. Jeśli wybrano więcej przekształceń to dla każdego rysowany jest odpowiedni równoległobok. Oprócz równoległoboków rysowane są, w postaci małych kółeczek, punkty stałe każdego przekształcenia. Kolor każdego równoległoboku i punktu stałego jest zgodny z numerem przekształcenia.

Przyciskając napis NIE rezygnujemy z wyświetlania równoległoboków.

<- skala X -> <- skala Y ->

Skalę rysunku można zmniejszyć, naciskając muszką strzałkę po lewej stronie napisu 'skala X' lub 'skala Y', zaś zwiększyć, naciskając strzałkę po prawej stronie napisu 'skala X' lub 'skala Y'.

SKŁADANIE PRZEKSZTAŁCEŃ TAK / NIE

Naciskając napis TAK wywołujemy składanie przekształceń. Punktem startowym jest zawsze środek ekranu, czyli punkt (0, 0). Oczywiście, jeśli wybrane jest tylko jedno przekształcenie to otrzymamy tylko kilka lub kilkanaście kolejnych obrazów, ponieważ albo szybko są one zbieżne do punktu stałego lub rozbieżne do nieskończoności. W szczególnym przypadku otrzymamy punktu leżące na okręgu lub na elipsie tworzące cykl.

Przyciskając napis NIE rezygnujemy z wykonywania składania przekształceń. Otrzymujemy wtedy, dla każdego przekształcenia oddzielne, kolejne obrazy punktu startowego (0, 0). W tej opcji mamy możliwość zmiany punktu startowego. Wystarczy wskazać prawym klawiszem myszki dowolny punkt ekranu i program pokaże kolejne obrazy tego punktu w każdym przeksztalceniu. Można też rysować prawym klawiszem myszki dowolne figury ktore natychmiast zostaną przekształcone przez każde przekształcenie.

OPCJA WYŚWIETLANIA I ZMIANY WSPÓŁCZYNNIKÓW

Opcja ta uwidoczniona jest przez układ liczb oznaczających współczynniki przekształceń afinicznych. Np. układ liczb:
0.2, 0.4, -0.5, -0.3, 0.7, 0.2
s.zw.=0.72 p=0.26
0.6, 0.9, 0.2, -0.2, 0.7, -0.2
s.zw.=1.12 p=0.60
oznacza dwa przekształcenia afiniczne:
x'=0.2x+0.4y-0.5, y'=-0.3x+0.7y+0.2
x'=0.6x+0.9y+0.2, y'=-0.2x+0.7y=0.2

Wyrażenie: s.zw.=0.72 oznacza skalę zwężania pierwszego przekształcenia, zaś wyrażenie: p=0.26 oznacza pole kwadratu jednostkowego po przekształceniu, czyli pole otrzymanego równoległoboku. Liczba ta jest zarazem prawdopodobieństwem z jakim losowane jest dane przekształcenie.

W tej opcji tkwi najistotniejsza cecha programu. Można mianowicie zmieniać, przy pomocy myszki, wartość każdego współczynnika danego przekształcenia i otrzymywać bardzo szybko i bardzo wiele, nowych obrazów. Np. chcąc zmienić wartość pierwszego współczynnika 0.2 na 0.3 wystarczy nacisnąć myszką cyfrę stojącą na prawo od kropki dziesiętnej, czyli cyfrę 2 . Aby zmienić go na 0.1 należy nacisnąć myszką cyfrę stojącą na lewo od kropki dziesiętnej, czyli cyfrę 0. Program natychmiast zmieni obraz zgodnie z nowymi wartościami współczynników oraz przeliczy skalę zwężania i pole równoległoboku.

PRZYKŁAD

Naciskając myszką napis PRZYKŁAD powodujemy wczytanie wcześniej nagranych współczynników przekształceń i wyświetlenie odpowiednich obrazów.

METAMORFOZA 1 2 3 4 ESC

W tej opcji zawarte są 4 gotowe rysunki ciekawych figur utworzonych tym programem, które automatycznie przeobrażają się na inne figury przechodząc przez kolejnych 10 obrazów. Aby wywołać którąś metamorfozę należy przyciskać myszką jedną z liczb 1, 2, 3, 4 umieszczoną obok napisu METAMORFOZA. Aktualnie wykonywaną metamorfozę można przerwać naciskając myszką napis ESC.

Opcja METAMORFOZA daje również możliwość pokazania, że każdy obraz uzyskany metodą IFS można sprowadzić do innego obrazu, w szczególności do trójkąta Sierpińskiego. Aby to zobaczyć należy nacisnąć myszką napis METAMORFOZA.

KONIEC PRACY

Naciskając myszką napis KONIEC PRACY powodujemy zamknięcie programu i wyjście do systemu operacyjnego.

Program Ifs2000.exe