Temat lekcji: Ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne, ułamki okresowe.
Cele lekcji:
-sposoby skracania ułamków, zastosowanie nwd,
-zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny,
-sposoby wydzielania okresów,
-wyznaczanie ilości cyfr między przecinkiem a okresem,
-wyznaczanie długości okresu.
Przebieg lekcji:
b) Sposób wyznaczania najwiekszego wspólnego dzielnika przy pomocy algorytmu Euklidesa zapisanego jako program na kalkulator TI 92. Pisanie programu rozpoczynamy klawiszami APPS - 7:Program Editor -Enter - 3:New - Enter i w okienku Variable wpisujemy nazwę programu, np. algorytm i naciskamy dwa razy ENTER.
:algorytm(a,b)
:Prgm
:ClrIO
:1->r
:While r>0
: mod(a,b)->r
: Disp
string(a)&"="&string(intDiv(a,b))&"*"&string(b)&"+"&string(r)
: b->a
: r->b
:EndWhile
:Disp "NWD="&string(a)
:EndPrgm
Po napisaniu programu należy przejść klawiszami APPS i 1:Home do głównego okna kalkulatora i w linii edycyjnej wpisać zlecenie: algorytm(1995,1957). Po naciśnięciu ENTER otrzymujemy wynik:
1995=1*1957+38
1957=51*38+19
38=2*19+0
NWD=19
c) Ćwiczenia w wyznaczaniu najwiekszego wspólnego dzielnika różnych par liczb,
d) Ułożenie programu na skracanie ułamków z wykorzystaniem najwiekszego wspólnego dzielnika:
:skroc(l,m)
:Prgm
:ClrIO
:string(l)&"/"&string(m)&"="->s
:gcd(l,m)->n
:l/n->l
:m/n->m
:Disp s&string(l)&"/"&string(m)
:EndPrgm
Przykładowy wynik działania programu - w linii edycyjnej należy wpisać zlecenie skroc(1995,1957)
1995/1957=105/103
e) Ćwiczenia w skracaniu ułamków.
Wniosek: Jeśli w trakcie dzielenia powtórzy się któraś reszta to dzielenie można przerwać ponieważ dalsze cyfry rozwinięcia dziesiętnego również będą się powtarzać.
b) Sposób zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny do 12 cyfr znaczących - wykorzystanie opcji APPROXIMATE i Display Digits-FLOAT 12 kalkulatora TI 92:
133/74 1.7972972973
Należy zwrócić uwagę, że ostatnia cyfra tego rozwinięcia jest zaokrąglana.
c) Sposób zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny do 175 miejsc po przecinku przy pomocy poniższego programu:
:dziel(licz,mian)
:Prgm
:ClrIO
:string(licz)&"/"&string(mian)&"="&string(intDiv(licz,mian))&"."
->s
:For n,1,175,1
: mod(licz,mian)*10->licz
: s&string(intDiv(licz,mian)) ->s
: If mod(n,25)=0 Then
: Disp s
: " "->s
: EndIf
:EndFor
:Disp s
:EndPrgm
Przykładowy wynik działania programu - w linii edycyjnej należy wpisać zlecenie: dziel(133,74)
133/74= 1.7972972972972972972972972
9729729729729729729729729
7297297297297297297297297
2972972972972972972972972
9729729729729729729729729
7297297297297297297297297
2972972972972972972972972
:zuzno(licz,mian)
:Prgm
:ClrIO
:string(licz)&"/"&string(mian)&"="->s
:Disp s
:gcd(licz,mian)->nwd1
:licz/nwd1->licz
:mian/nwd1->mian
:"="&string(licz)&"/"&string(mian)&"="->s
:s&string(factor(licz))&"/("&string(factor(mian))&")="->s
:Disp s
:"="&string(intDiv(licz,mian))&"."->s
:mian->mian1
:0->i2
:While mod(mian1,2)=0
: i2+1->i2
: mian1/2->mian1
:EndWhile
:0->i5
:While mod(mian1,5)=0
: i5+1->i5
: mian1/5->mian1
:EndWhile
:max(i2,i5)->immpao
:If immpao=0
: s&"9"->s
:1->dlok
:9->licz1
:While mod(licz1,mian1)>0
: dlok+1->dlok
: mod(licz1,mian1)*10+9->licz1
:EndWhile
:For n,1,150,1
: mod(licz,mian)*10->licz
: s&string(intDiv(licz,mian))->s
: If immpao=n
: s&"("->s
: If immpao+dlok=n
: s&")"->s
: If mod(n,25)=0 Then
: Disp s
: " "->s
: EndIf
:EndFor
:Disp s
:EndPrgm
Po uruchomieniu tego programu zleceniem zuzno(1995,1957) otrzymujemy:
1995/1957=105/103=3*7*5/103=
=1.(0194174757281553398058252
427184466)0194174757281553
3980582524271844660194174
7572815533980582524271844
6601941747572815533980582
52019417475728155339805825
Program skraca ułamek, rozkłada licznik i mianownik na czynniki pierwsze i oznakowuje nawiasami ( ) okres.
c) Postawienie uczniom do rozwiązania problemu 1.
Problem 1. Czy każdy ułamek ma rozwinięcie okresowe?
Odpowiedź: Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie okresowe.
Uzasadnienie: W trakcie każdego dzielenia pisemnego któraś reszta musi się powtórzyć i dalsze cyfry rozwinięcia również będą się powtarzać. (Ilość różnych reszt ułamka nieskracalnego p/q, wynosi co najwyżej q-1.)
d) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 2.
Problem 2. Czy zawsze okres rozpoczyna się tuż po przecinku? Jeśli nie, to jak określić ilość cyfr, rozwinięcia dziesiętnego ułamka, między przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu?
W czasie rozwiązywania problemu uczniowie powinni wykonać wiele przykładów na zamianę ułamków zwykłych na okresowe i szczegółowo przeanalizować te przykłady w których okres nie rozpoczyna się tuż po przecinku. Program zuzno(a,b) podaje, oprócz rozwinięcia dziesiętnego i okresu, również rozkład licznika i mianownika na czynniki pierwsze, co powinno pomóc w rozwiązaniu problemu.
Odpowiedź: Ilość cyfr między przecinkiem a okresem równa jest większej z ilości dwójek lub piątek w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze.
Uzasadnienie: Każde dzielenie przez 2 lub przez 5 lub przez 2*5, czyli przez 10, daje jedną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego. Cyfra ta nie powtarza się ponieważ takie dzielenie jest skończone i daje reszte zero. Jeśli w mianowniku są jeszcze inne czynniki różne od 2 i od 5 to dzielenie jest nieskończone i one decydują o okresie. Patrz przykłady 5/6, 11/15, 23/60, 133/74.
e) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 3.
Problem 3. Jaka jest własność ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... ?
Uczniowie powinni wykonywać przykłady na zamianę ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... na ułamki okresowe i obserwować wyniki.
Odpowiedź: Ułamki o mianowniku 9, 99, 999, ... mają okresy złożone z tylu cyfr ile jest dziewiątek w mianowniku. Jednocześnie licznik takiego ułamka jest jego okresem (z ewentualnymi zerami na początku, jeśli ilość cyfr licznika jest mniejsza od ilości cyfr mianownika).
Np. 1/9 = 0.(1)11111111111111111111111111111...
5/9 = 0.(5)55555555555555555555555555555...
7/99 = 0.(07)0707070707070707070707070707...
12/99 = 0.(12)1212121212121212121212121212...
Odpowiedź jest prawidłowa nawet wtedy, gdy ułamek o mianowniku 9, 99, 999, ... skróci się, np. 6/9 = 2/3 = 0,(6)666666666666666666666666
592/999 = 16/27 = 0.(592)592592592592592592
f) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 4.
Problem 4. Jak określić długość okresu ułamka p/q bez wykonywania dzielenia liczb p i q?
Pomysł rozwiązania tego problemu powinna nasunąć odpowiedź do poprzedniego problemu.
Odpowiedź: Dla ułamków o mianownikach 9, 99, 999,... długość okresu jest równa ilości dziewiątek w tych mianownikach. Zatem dla innych ułamków należy rozszerzyć je do mianownika 9 lub 99 lub 999 lub ... - ilość otrzymanych dziewiatek jest długością okresu.
Przykłady: a) ułamek o mianowniku 11 ma okres złożony z dwóch cyfr ponieważ można go rozszerzyć do ułamka o mianowniku 99.
b) ułamek o mianowniku 37 ma okres długości 3 ponieważ można go rozszerzyć do ułamka o mianowniku złożonym z 3 dziewiątek.
Sposób ten jest zastosowany w programie zuzno(a,b) do wyznaczania okresu.
g) Ćwiczenia w wyznaczaniu długości okresów ułamków. (przed rozszerzaniem ułamków dobrze jest rozłożyć na czynniki liczby 9, 99, 999, .... Wykorzystać do tego celu zlecenie factor(a), np. factor(999) 37*33.)
4. Zadanie domowe.
Znaleźć taką liczbę pierwszą q, aby ułamek 1999/q zapisany w postaci dziesiętnej miał w okresie:
a) 5 cyfr
b) 10 cyfr
c) 17 cyfr.