Temat: Pierwiastki trójmianu kwadratowego. (liceum)                             ptkw.doc – 46 kB

 

Celem lekcji jest wyprowadzenie wzorów na pierwistki trójmianu kwadratowego przy pomocy graficznej analizy jego wykresów.

 

Przebieg lekcji:

 

1. Omówienie własności funkcji y=x2 na podstawie wykresu - rys.1.

    Do sporządzenia wykresów korzystamy z programu wyk-sk2.exe.

 

2. Omówienie własności funkcji y=x2+c na podstawie wykresów uzyskanych dla różnych wartości parametru c - rys.2.

Rys.1. Wykres funkcji y=x2

Wykresem funkcji  y=x2 jest parabola.

Funkcja posiada miejsce zerowe x1=0.

Współrzędne wierzchołka: xw=0, yw=0.

Rys. 2. Wykres funkcji y = x2  + c

   dla c = 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,  -4, 4.

Współrzędne wierzchołka: xw = 0, yw = c.

Miejsca zerowe x1=   =

                         x2= -  = -.

 

3. Omówienie własności funkcji y=x2+bx na podstawie wykresów uzyskanych dla różnych wartości parametru b - rys.3.

Rys. 3. Wykresy funkcji y=x2+bx

dla b = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Miejsca zerowe:         x1= 0, x2= -b.

Współrzędne wierzchołka:

xw= -b/2,

                          yw = (-b/2)2+b*(-b/2) = -b2/4.

Rys. 4. Wykresy funkcji y = x2+4x+c

dla c = -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Współrzędne wierzchołka:     xw= -b/2,

                                                  yw= -b2/4+c.

Miejsca zerowe:

x1=    +  xw  =    - b/2,

x2=  - +  xw  = - - b/2.

 

4. Omówienie własności funkcji y=x2+4x+c na podstawie wykresów uzyskanych dla różnych wartości parametru c - rys.4.

 

5. Wyprowadzenie wzorów na pierwiastki trójmianu y=ax2+bx+c.

 

 Przekształcamy równanie ax2+bx+c=0 do postaci:

 

               x2 +  x +  = 0.

 

Korzystając  ze  wzorów  z  pkt.4 i podstawiając w miejsce b wyrażenie b/a, i w miejsce c wyrażenie c/a otrzymujemy końcowe wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego:

 

           x1=

 

          x2= ,  gdzie = b2-4ac  > 0.

 

6. Ćwiczenia w obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego przy pomocy poznanych wzorów.